整数的初步因素的数量是 O(log(n)) [关闭]

Question

众所周知，每个整数 N 都可以定义为素因数的乘积。例如数字 48 可以写成 48 = (2^4)*(3^1)。

我如何证明整数 N 的质因数的计数（包括在需要时重复数字）是 O(log(n)) 的数量？

（对于上面的示例，log(48) = 5.584... 并且素因子的计数是 4+1=5。并且确实是 5

谢谢。

Answer 1

对数是取幂的倒数。求幂是重复乘法。因此，对数是乘法中因子数的近似值。

可能的最长乘法链，即最大数量的因子将是当您将许多非常小的数字相乘时。最小的可能（合理）因数是 2，因此当您多次乘以 2 时，因数最多。

多次乘以 2 与将 2 提高到一个幂是一样的。其倒数是以 2 为底的对数。

因此，质因数的个数总是小于或等于以 2 为底的对数。

您甚至不需要 Bachmann-Landau 符号，您可以给出非常精确的界限，对于整数 n，素因子的数量 |?(n)| 是：1 ≤ |?(n)| ≤ log₂ n.