为什么 log() 的 Big-O 是“O( log(n) )”而不是“O(n)”？答案

【问题标题】：Why is Big-O of log() "O( log(n) )" and not "O(n)"?为什么 log() 的 Big-O 是“O( log(n) )”而不是“O(n)”？
【发布时间】：2018-03-05 08:11:53
【问题描述】：

互联网上有很多资源解释了对数因子函数的 Big-O（例如1、2），即O(n log(n))。

我不明白为什么log() 有O(log(n)) 而不是至少O(n)。从下面的递归代码中，log_factorial 本质上被称为 n 次（转换为 log() 被称为 n 次），所以如果 log() 是 O(n)，@987654336 @ 应该是 O(n^2).

log_factorial <- function (n) {
  # Return the log of factorial(n) for any integer n > 0
  if (n <= 1)
    return (0)
  return ( log(n) + log_factorial( n - 1 ) )
}

上网对我没有多大帮助（相反，它让我更加困惑）。 Wikipedia 说 log 的 Big-O 应该取决于精确度：

...计算自然对数（使用算术几何均值）是 O(M(n) ln n)。这里 n 是精度的位数其中要计算自然对数，M(n) 是两个 n 位数相乘的计算复杂度。

为了获得经验答案，我绘制了运行时与 n（下图）的关系图，实际上，对数因子不是二次的。

我显然在这里遗漏了一些东西，希望有人可以向我解释。如果我的问题是“noob-ish”，请原谅我。

【问题讨论】：

你向我们展示的情节看起来很像它可以以O(N*logN)为界。它显然不是线性的，但增长速度比这快。
中位执行时间与递归调用次数有什么关系？
你有没有想过为什么计算 log(n) 的复杂度是 log(n) ？ :)
@TimBiegeleisen，同意了。该图显然不是线性的也不是二次的 - 它似乎以O(N*logN)为界，这（有点？）证实了互联网上提到的内容。
@alfasin，哦，废话......现在你指出它是如此明显......感谢您的详尽解释！

标签： algorithm big-o logarithm

【解决方案1】：

TL;DR：没有办法告诉 Big-O log(n)，只能告诉 log(n) 的特定实现。

您正在尝试推理您未完全指定的算法的 Big-O。没有人知道您（或各种互联网资源）对对数函数的想法是什么。

我很确定每个半体面的 log(n) 实现都会比 O(n) 执行得更好：log(1000000) 不会比 log(1000) 长 1000 倍。

在 cmets 中，考虑到在 O(logn) 中执行 log(n)，有一些看似合理的方法，我认为甚至可以有更好的方法。

对于几千范围内的值（如您的图表所示），我什至可以为您提供一个 O(1) 解决方案，其中包含预先计算的日志值表。

【讨论】：