使用随机“查找重复超过 n/2 次的元素”的最坏情况运行时

Question

有问题"Find the element repeated more than n/2 times"

您能否帮助估计使用随机的解决方案的时间复杂度：

1. 随机选取数组中的元素
2. 遍历数组并计算所选元素的出现次数
3. 如果计数 > N/2 - 返回该元素。
4. 从第 1 步开始重复。

如果我使用提供随机统一数字的完美随机生成器，这种方法最坏的情况是什么？ O(N²)?

我的直觉说，平均而言，它应该在两次尝试中给出答案，但这只是平均情况。如何证明？我不太确定如何估计随机算法的运行时间。

Answer 1

假设实际上有一个元素出现超过 n/2 次，则预期运行时间为 O(n)。你可以这样想——每次你选择一个元素时，你需要做 O(n) 的工作来检查它是否是多数元素。然后的问题是，根据预期，您必须选择多少元素。每次随机选择一个元素时，您至少有 1/2 的概率选择了多数元素。按照预期，这意味着您需要在找到多数元素之前选择两个元素，因此运行时间将为 O(n)。如果你很好奇为什么，请注意在恰好 k 次探测 (k > 0) 之后找到所需内容的概率最多为 2^-k，因为你需要第一个k - 1 次探测不成功，然后第 k 次探测成功。然后，您可以将预期值计算为

0 * 2^-0 + 1 * 2^-1 + 2 * 2^-2 + ...

= 2

（已知这个总和正好是两个，尽管证明它有点混乱。）

不过，在最坏的情况下，每次你选择一个元素时，你都会选择一个不是多数元素的东西。不过，这极不可能 - 在 k 轮之后您找不到多数元素的概率最多为 2^-k。对于 k = 300，这个数字小于宇宙中原子数的 1。因此，即使您无法限制最坏情况的运行时，它也极不可能，您可以放心地忽略它。

希望这会有所帮助！

Answer 2

该算法的最坏情况运行时间没有界限。

“完美”随机数生成器的输出不能依赖于之前的历史；否则它将是不完美的（现实世界的伪 rng 以这种方式是不完美的，因此您可能能够为特定的 PRNG 构建一个真实的界限）。

因此，在 RNG 猜测多数元素的位置之一之前，可能需要进行任意次数的猜测。

如果允许您重新排列数组，您可以将错误的猜测交换到数组的（仍然未知的）部分的开头，然后将猜测限制在尚未猜测的位置。这会将迭代次数限制为 n/2-1，因此算法的最坏情况运行时间将是 O(n²)。

虽然它对 big-O 运行时没有影响，但您几乎总是可以提前停止计数扫描，因为您已经找到了 n/2+1 个元素，或者因为没有足够的未扫描元素可以将数到那个阈值。即使进行了优化，单次扫描的最坏情况（交替元素）时间仍为 n，预期扫描时间仍为 O(n)。

Answer 3

对于随机算法，预期运行时间更好地表征了它们的运行时间。对于您描述的算法，预期运行时间最多为

S = n * 1/2  + 2n * 1/2^2 + 3n * 1/2^3 + ... up to infinity

我们可以这样解决：

S =      n/2 + 2n/2^2 + 3n/2^3  + ... up to infinity
2S = n + 2n/2 + 3n/2^2 + 4n/2^3 + ... up to infinity

(subtracting the top from bottom)
S = n + n/2 + n/4 + n/8 + ... up to infinity
  = 2n 

所以预期的运行时间是 O(n)。

Answer 4

如果我们谈论 worst-case 复杂性，我们指的是 输入 的最坏情况，即强制算法进入其可能的最坏运行时间的输入。

这与随机算法相同。我们计算最坏情况输入的预期复杂度。

在您的示例中，最差的输入是长度为 n 的数组，它只包含一个数字 a ⌊n/2⌋+1 次。

现在的复杂度是O(n)⋅<b>E</b>[X]，其中X 是在您选择a 之前，您必须从数组中随机选择一个数字的尝试次数。 如果 a 是 m 在数组中的次数 <b>E</b>[X] = n/m 成立。因此，对于最坏情况的输入，我们得到<b>E</b>[X] = n/(⌊n/2⌋+1) &lt; n/(n/2) = 2。

所以这个随机算法的最坏情况复杂度为O(n)。