子集推理 NP 完全？答案

【问题标题】：Subset Inference NP-complete?子集推理 NP 完全？
【发布时间】：2012-05-17 15:33:27
【问题描述】：

考虑以下问题：

有 N 个硬币，编号从 1 到 N。

你看不到它们，但会得到关于它们的 M 个事实，形式如下：

struct Fact
{
    set<int> positions
    int num_heads
}

positions 标识硬币子集，num_heads 是该子集中正面硬币的数量。

考虑到这些 M 事实，您需要计算出可能出现正面的最大数量。

这个问题是 NP 完全的吗？如果是，减少量是多少？如果不是，什么是多项式时间解？

例如：

N = 5
M = 3
fact1 = { {1, 2}, 1 } // Either coin 1 or coin 2 is a head
fact2 = { {4}, 0 } // Coin 4 is a tail
fact3 = { {2, 4, 5}, 2 } // Out of coins 2, 4 and 5, two are heads

符合事实的最多人头的配置是：

T H H T H

所以答案是 3 个正面。

【问题讨论】：

也许我对您在此处提出的问题的思考时间不够长或不够认真，但您确定——首先——这个问题甚至是可以判定的吗？
@B.VB。这当然是可判定的：一个简单的指数算法是枚举所有 2^N 个可能的分配，并根据 M 个事实检查它们，跟踪最多人的解决方案。这是时间 O(N M 2^N)。
SAT 似乎应该有所减少，但我无法让它发挥作用。不过，我 80% 确定它在 NP 中。
查看我的答案，将 3-SAT 减少为硬币问题，表明它是 NP 难的。 NP-completeness 遵循多项式检查来验证解决方案。

标签： algorithm np-complete

【解决方案1】：

假设您有一个 3-SAT 问题。您可以将该问题中的每个布尔变量 v 映射到两个硬币。称它们为“真（v）”和“假（v）”。这个想法是，如果 3-SAT 问题的解决方案中的 v 为真，那么 'true(v)' 是正面；否则 'false(v)' 是正面。为每个 v 添加硬币约束

{true(v), false(v)} has 1 heads, and has 1 tails

在此之后，您可以翻译带有文字 l1、l2、l3 的 3-SAT 子句

l1 or l2 or l3

到硬币约束

{t/f(l1), t/f(l2), t/f(l3)} has at least 1 heads

其中 t/f(l1) 是 'true(l1)' 或 'false(l1)' 取决于 l1 在子句中是肯定的（非否定的）还是否定的（否定的）。我们只需要证明“至少 1 个正面”可以在硬币问题中实现，因为“至少 1 个正面”不能直接表达。这可以通过以下设备完成。让 C1、C2、C3 是三个硬币，我们要声明约束“其中至少一个是正面”。创建另外三个硬币 X1、X2、X3 并放入约束

{X1, X2, X3, C1, C2, C3} has 4 heads

但对 X1、X2、X3 没有其他限制。仅当 C1、C2、C3 中的至少一个是正面时，才满足此约束；硬币 X1..3 可用于提供剩余的所需正面。

请注意，这种减少根本没有使用问题的“最大正面数”方面；如果 3-SAT 公式不可满足，则根本不可能为表示布尔变量的硬币选择正面/反面状态。

这是从 3-SAT 到硬币问题的多项式简化，表明它是 NP 难的。为了证明它是 NP 完全的，只需观察硬币问题的解决方案可以在多项式时间内检查，QED。

【讨论】：

嗯，看来我减少了硬币问题的不同变体...... :) 你的问题不能有“至少 1 个正面”的约束。嗯
您可以使用one-in-three 3SAT 跳过 X1、X2、X3 的技巧。

【解决方案2】：

One-in-three 3SAT 微不足道地简化为问题的决策版本（是否存在配置？），这在 NP 中微不足道。最大化版本是 NP-hard （但不完整，因为它不是一个决策问题），即使是必须有令人满意的配置的承诺版本：在决策减少的输出中添加一个额外的硬币，出现在所有子集中，创建了一个糟糕的额外解决方案，其中硬币是正面，所有其他都是反面。

【讨论】：

【解决方案3】：

完美匹配可以直接减少这个问题 - 将边表示为硬币，因为图中的每个顶点创建一个事实，规定恰好有一个附带边是正面。当且仅当硬币有解时，原始图中存在完美匹配。

【讨论】：