混合整数线性规划中的节俭边界

Question

我目前正在使用lp_solve 及其R API 来设置和解决线性规划问题。

对于这个问题，设置一个更简单的线性规划问题很有用，所以让我们有一个鼓励你玩的玩具示例：

 minimize     3 x1 -   x2
 subject to    -x1 + 6 x2 - x3 +   x4 >= -3
                     7 x2      + 2 x4 <=  5
                x1 +   x2 + x3        >=  1
                            x3 +   x4 <=  2

此外，x1、x2、x3 和 x4 应为整数。

这可以很容易地解决，但是如果我需要添加一个这样的约束：

abs(x1) + abs(x2) + abs(x3) + abs(x4) <= 3

您将如何添加此约束和/或您将如何处理符合此类附加约束的解决方案？

Answer 1

您的问题目前是

minimize     3 x1 -   x2
 subject to    -x1 + 6 x2 - x3 +   x4 >= -3
                     7 x2      + 2 x4 <=  5
                x1 +   x2 + x3        >=  1
                            x3 +   x4 <=  2

添加约束

abs(x1) + abs(x2) + abs(x3) + abs(x4) <= 3

引入一些额外的变量并重写约束：

 x1<=z1
-x1<=z1
 x2<=x2
-x2<=z2
 x3<=z3
-x3<=z3
 x4<=z4
-x4<=z4
z1+z2+z3+z4<=3

z 变量将仅绑定到 x 变量的正（绝对）值。