混合整数线性规划：如何生成约束？

Question

我有一个目标函数，例如

（为简单起见，我省略了系数）。

我想使用 intlinprog 最小化此功能，并具有以下约束：

和

所有 x 二进制文件。这些总和导致这 4 个不等式：

很明显，containts矩阵是

如果我手动创建此矩阵，则效果很好。现在假设我的目标函数和约束中有 6 个或 8 个或 10 个变量而不是 4 个（相同的模式）。如何使用 Matlab 为这些较大的问题生成这个约束矩阵？

Answer 1

我建议写一些其他的案例。因此，您似乎想约束所有行和和所有列和：

对于 N=3，有 9 个变量（我在这里假设为方形；您没有提供完整信息）：

x00 x01 x02
x10 x11 x12
x20 x21 x22

现在约束矩阵如下：

x00 x01 x02 | x10 x11 x12 | x20 x21 x22
---------------------------------------
1   1   1
              1   1   1
                            1   1   1
1             1             1
    1             1             1
        1             1             1

这很正常。现在不是检查 matlab 的矩阵创建函数的时候了。可悲的是，我不是一个 matlab 用户，但是：

行的下半部分包括：

• 水平堆叠 N 个单位矩阵，每个单位矩阵大小为 N

行的上半部分由组成：

• 由 N 个 1 行向量组成的块对角矩阵，每个向量的大小为 N

最终的矩阵是两个组件的垂直堆叠

一个完整的稀疏矩阵 python 示例（抱歉，这里没有 matlab；但应该有接近 1:1 的映射），更清楚的是：

import numpy as np
import scipy.sparse as sp

N = 3
component_a = sp.hstack([sp.eye(N) for i in range(N)])
row_full_1 = sp.csr_matrix(np.ones(N))
component_b = sp.block_diag([row_full_1 for i in range(N)])  # matlab: blkdiag?
matrix = sp.vstack((component_b, component_a))

print(matrix.todense())

输出：

[[ 1.  1.  1.  0.  0.  0.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  1.  1.  1.  0.  0.  0.]
 [ 0.  0.  0.  0.  0.  0.  1.  1.  1.]
 [ 1.  0.  0.  1.  0.  0.  1.  0.  0.]
 [ 0.  1.  0.  0.  1.  0.  0.  1.  0.]
 [ 0.  0.  1.  0.  0.  1.  0.  0.  1.]]

备注：取决于N，您需要考虑使用密集或稀疏矩阵。给定N，矩阵中非零的比例将为1/N。