混合整数线性规划中的 If-Then-ElseIf-Then答案

【问题标题】：If-Then-ElseIf-Then In Mixed Integer Linear Programming混合整数线性规划中的 If-Then-ElseIf-Then
【发布时间】：2016-12-07 04:02:29
【问题描述】：

我正在尝试在 Python 的 PuLP 中构建 If-Then-Else-If... 条件。

我在 MIP 中查看了 If-Then 和 If-Then-Else。但是，我试图了解如何将选择进一步传播到下一组约束以及如何处理超过 2 个决策分支。

为了解释，考虑image shown here中显示的条件约束：

x 和 y 是我的决策变量。基本上，这读作：

if x=0: C2>0 
elif x=1: C10>0
elif x=2: C3>0

if x=0 and y=0: 
    C4>0; 
    C8>0; 
    C10>0
elif x=0 and y=1: 
    C5>0; 
    C8>0; 
    C10>0
elif x=2 and y=0: 
    C6>0; 
    C9>0; 
    C10>0
elif x=2 and y=1: 
    C7>0; 
    C9>0; 
    C10>0

我知道如何在简单的 if-then-else 情况下使用“Big M”技术。例如，如果问题是：

Problem: 
   if (x = 1) then (A < 0) else (B < 0)
Solution: 
   problem += A < M1*(1-x)
   problem += B < M2*x

我不明白的是，如何将其更改为：

如果有超过 2 个分支，则不再是 x 和 (1-x) 的乘法。
如果在原始决策下方有后续分支，则有更多决策都依赖于上面的值。

【问题讨论】：

标签： python constraints linear-programming pulp

【解决方案1】：

这里实际上涉及三个步骤：

第一：

重新定义 x 变量，使其为二进制而不是 {0,1,2}。（严格来说，这不是必需的，但我认为它使解决方案更清晰，更容易泛化。）

所以，引入三个新的二进制变量x0、x1、x2，并对其进行约束如下：

x0 >= 1 - x
x0 <= 1 - 0.5x

x2 >= x - 1
x2 <= 0.5 x

x1 = x - 2x2

所以：如果x = 0，那么前两个约束需要x0 = 1，后两个需要x2 = 0，最后一个需要x1 = 0。同样，如果x = 1 或x = 2。（你应该仔细检查我的逻辑。）

您的模型将包括您原来的 x 变量以及新的二进制变量。

第二：

创建一个名为w_ijkl 的新二元决策变量，如果x0 = i、x1 = j、x2 = k 和y = l 等于1，则为i、j、k， {0,1} 中的l。通过以下约束强制执行此定义：

w_ijkl >= i*x0 + (1-i)*(1-x0) + j*x1 + (1-j)*(1-x1) +
          k*x2 + (1-k)*(1-x2) + l*y + (1-l)*(1-y) - 3
w_ijkl <= 0.25 * [i*x0 + (1-i)*(1-x0) + j*x1 + (1-j)*(1-x1) +
                  k*x2 + (1-k)*(1-x2) + l*y + (1-l)*(1-y)]

第一个约束表示如果所有四个变量都等于它们的目标（i、j 等），那么w_ijkl 必须等于 1，否则它可以等于 0。第二个约束表示如果所有四个变量都等于等于他们的目标，那么w_ijkl可能等于1，否则它必须等于0。

因此，例如，w_0110 得到这些约束：

w_0110 >= 1-x0 + x1 + x2 + (1-y) - 3
w_0110 <= 0.25 * [1-x0 + x1 + x2 + (1-y)]

第三：

根据需要使用 big-Ms 来打开和关闭约束。因此，例如，如果 x=2 和 y=0 要求 C6 >= 0，请使用：

C6 >= M * (w_0010 - 1)

（顺便说一下，一般情况下，您不能在 MIP 中使用严格的不等式约束——您需要大于或等于或小于或等于约束。）

【讨论】：