和/或约束的混合整数线性规划

Question

我希望使用 PuLP 来满足一组约束，但我不确定如何设置变量来实现这一点。

例如，我将如何为以下约束设置变量：

((x_1 < x_2) AND (x_1 < x_3)) OR ((x_1 > x_2) AND (x_1 > x_3))

变量 x_1 小于或大于 x_2 和 x_3。

任何帮助将不胜感激。谢谢！

Answer 1

约束

 ((x1 <= x2) AND (x1 <= x3)) OR ((x1 >= x2) AND (x1 >= x3))

可以只用一个额外的二进制变量来表示：

 x1 <= x2 + delta*M
 x1 <= x3 + delta*M
 x1 >= x2 - (1-delta)*M
 x1 >= x3 - (1-delta)*M
 delta in {0,1}

大多数高级求解器都有指标约束，允许我们在没有大 M 的情况下编写此代码：

 delta = 0 -> x1 <= x2
 delta = 0 -> x1 <= x3
 delta = 1 -> x1 >= x2
 delta = 1 -> x1 >= x3
 delta in {0,1}

Answer 2

首先说明：线性规划中没有< 运算符。只有<=。这意味着：如果你想要严格的不等式，你需要添加一些小的常数 epsilon！

现在让我们假设您的任务看起来像：((x1<=x2) && (x1<=x3)) || ((x1>x2) && (x1>x3))（> 是 <= 的逻辑否定，尽管有上述情况，这仍然可以工作）。

让我们打电话给(x1>x2) = z1 和(x1>x3) = z2。那么这可以是simplified 到：(!z1 || z2) && (z1 || !z2)（我在链接中使用了名称 A 和 B）。

• 引入两个新的二进制变量z1, z2
• 使用基于 bigM 的公式 like this page 4 为您的关系创建指标：
  • x1 <= x2 + M * z1 其中 M 是一个大常数； (z1=0) -> x1 <= x2
  • x1 <= x3 + M * z2 其中 M 是另一个大常数； (z2=0) -> x1 <= x3
• 现在我们需要上面的：(!z1 || z2) && (z1 || !z2)
  • 这基本上是一个!(z1 xor z2)，这里是1-(z1 xor z2)（查看上面“简化”链接中的真值表），你可以关注一个非常活跃的Stackoverflow用户here来线性化xor：
    • 引入另一个二进制变量z3
    • 添加线性约束
      • z3 <= (1-z1) + (1-z2)
      • z3 >= (1-z1) - (1-z2)
      • z3 >= (1-z2) - (1-z1)
      • z3 <= 2 - (1-z1) - (1-z2)
  • z3 现在是 z1 xor z2
  • 添加约束：z3 == 0

（上面可能有一些错误，但概念应该没问题。手头有代码你应该可以让它工作）