3D共面点的面积 - Python

Question

我在坐标 (x,y,z) 的 3D 中得到了一组共面点，以及它们所属的计划 P 的方程。我想知道如何使用 Python 获取窗格上这些点所占据的区域。我在 3d 中尝试过 Convhull，但我得到一个错误，因为我所有的点确实是共面的。你有什么想法吗？

谢谢！

Answer 1

首先，我尝试通过创建一些随机的共面点并尝试拟合凸包来重现您的问题：

import numpy as np
from scipy.spatial import ConvexHull

# 4 random 3D points
points = np.random.rand(4, 3)
# A set of coplanar points where their third dimension is 1.
coplanar = np.array([np.array([x[0], x[1], 1.0]) for x in points])

hull = ConvexHull(coplanar)

这确实会产生错误：

Traceback (most recent call last):
  File "main.py", line 9, in <module>
    hull = ConvexHull(coplanar)
  File "qhull.pyx", line 2428, in scipy.spatial.qhull.ConvexHull.__init__
  File "qhull.pyx", line 357, in scipy.spatial.qhull._Qhull.__init__
scipy.spatial.qhull.QhullError: QH6154 Qhull precision error: Initial simplex is flat (facet 1 is cop
lanar with the interior point)

..... OMITTING SOME LINES ....

If the input is lower dimensional:
  - use 'QJ' to joggle the input and make it full dimensional
  - use 'Qbk:0Bk:0' to delete coordinate k from the input.  You should
    pick the coordinate with the least range.  The hull will have the
    correct topology.
  - determine the flat containing the points, rotate the points
    into a coordinate plane, and delete the other coordinates.
  - add one or more points to make the input full dimensional.

正如我们所见，底层库 (qhull) 为我们提供了一些建议，以防您的数据为低维数据。正如您所说，您已经知道您的数据是共面的，并且可以将其投影到平面上并由 2D 点表示。

按照错误消息中的建议，投影数据的另一种方法是使用选项QJ 微动输入 (option doc)。如果我理解正确的话，这个“joggle”会通过向您的数据引入随机噪声使您的数据“非共面”，从而允许优化继续进行。

hull = ConvexHull(coplanar, qhull_options="QJ")
hull.area
> 0.3100618849870332

总结：

• 找出平面与单位xy平面之间的角度，如果您想要一个精确的答案，可以旋转您的数据
• 如果您想要一个快速的解决方案并且高精度不是问题，请使用选项"QJ"（我实际上不知道答案与事实相差多远）

更新

来自Qhull FAQ：

面积是凸包表面的面积，而体积是凸包的总体积。

在二维中，凸包是一个多边形。它的表面是多边形的边缘。所以在二维中，“面积”是多边形边的长度，而“体积”是多边形的面积。

根据这些陈述，我认为您应该使用：

• hull.area / 2 用于 3D 点（带有选项 QJ 的原始点）
• hull.volume 用于二维点（如果您旋转点并摆脱一维）

为了帮助阐明ConvexHull 的用法，我使用了一个更简单的示例

square2D = np.array([
    [0.0, 0.0],
    [2.0, 0.0],
    [2.0, 2.0],
    [0.0, 2.0]
])
hull = ConvexHull(square2D)
hull.area
> 8.0
hull.volume
> 4.0

结果与文档一致。

现在，为了了解选项QJ 的效果，我只是在前面的几点上添加了一个维度：

coplanar = np.array([
    [0.0, 0.0, 0.0],
    [2.0, 0.0, 0.0],
    [2.0, 2.0, 0.0],
    [0.0, 2.0, 0.0]
])
hull = ConvexHull(coplanar, qhull_options="QJ")
hull.area
> 8.000000000306578
hull.volume
> 5.719619827513867e-11

对于最后一个示例，我将凸包想象为具有两个大面的近似“平坦”的 3D 对象（由于引入了噪声）。这就是为什么我认为在这种情况下你可以使用hull.area / 2。