总面积表 (SAT) 的 3D 变体答案

【问题标题】：3D variant for summed area table (SAT)总面积表 (SAT) 的 3D 变体
【发布时间】：2013-12-25 01:18:56
【问题描述】：

根据维基百科：

summed area table 是一种数据结构和算法，用于在网格的矩形子集中快速有效地生成值的总和。

对于 2D 空间，可以通过在所需范围内迭代 x,y 来生成总面积表，

I(x,y) = i(x,y) + I(x-1,y) + I(x,y-1) - I(x-1,y-1)

而用于矩形角的query 函数A(top-left)、B(top-right)、C(bottom-right)、D 可以通过以下方式给出：-

I(C) + I(A) - I(B) - I(D)

我想将以上内容转换为 3D。另请告知是否有其他方法/数据结构可用于计算 3D 空间中的部分和。

【问题讨论】：

维基百科条目没有在“扩展”部分回答这个问题吗？我相信它给出了底部高维空间的公式。
是的，我尝试理解，但无法完全掌握。你能解释一下吗？

标签： algorithm data-structures 3d cumulative-sum

【解决方案1】：

我不确定，但可以想到以下内容。（我没有浏览过维基百科代码）

对于每个坐标 (x,y,z)，求从 (0,0,0) 到该元素的所有元素的总和。
将其称为 S(0,0,0 到 x,y,z) 或 S0(x,y,z)。
这可以通过遍历 3D 矩阵一次来轻松构建。

S0( x,y,z ) =  value[x,y,z] + S0(x-1,y-1,z-1) + 
               S0( x,y,z-1 ) + S0( x, y-1, z ) + S0( x-1, y, z ) 
               - S0( x-1, y-1, z ) - S0( x, y-1, z-1 ) - S0( x-1, y, z-1 )

(基本元素值 + S0(x-1,y-1,z-1) + 3 个面 (xy,yz,zx))

现在对于每个查询 (x1,y1,z1) 到 (x2,y2,z2)，首先转换坐标，使 x1,y1,z1 是长方体最靠近原点的角，x2,y2,z2 是离原点最远的角。

S( (x1,y1,z1) to (x2,y2,z2) ) = S0( x2,y2,z2 ) - S0( x2, y2, z1 ) 
                                - S0( x2, y1, z2 ) - S0( x1, y2, z2 )
                                + S0( x1, y1, z2 ) + S0( x1, y2, z1 ) + S0( x2, y1, z1 )
                                - S0( x1, y1, z1 )

（可能会更正）

【讨论】：

你将如何制作 S0 矩阵？
@Ninja420 查看我的更新。它需要 3D 可视化，但我认为如果你明白了这将不会太困难。
S0( x1, y1, z1 ) 出现了两次，其中一个应该是 x1,y2,z2 我猜

【解决方案2】：

聚会有点晚了，但无论如何。在Wikipedia 中有一个n 维空间的通用公式，在this paper 中提供。按照该符号，我们假设您对由具有角 (x0,y0,z0) 和 (x1,y1,z1) 的矩形框指定的体积感兴趣。然后，有一个完整的图像（体积），系数将是： S((x0,y0,z0) 到(x1,y1,z1)) = S(x1,y1,z1) - S(x1,y1,z0) - S(x1,y0,z1) + S(x1,y0,z0) - S(x0,y1,z1) + S(x0, y1,z0) + S(x0,y0,z1) - S(x0,y0,z0)

这是我用来计算它们的matlab代码（可以指定维度）

%number of dimensions
nDim = 3;
for i=1:2^nDim
        str=dec2bin(i-1,nDim);
        strout='index combo (';
        sum=0;
        for n=1:nDim
            strout = strcat(strout,str(n));
            sum=sum + str2num(str(n));
        end
        strout = strcat(strout,') sign: ',num2str((-1)^(nDim-sum)));
        disp(strout);
end

哪个输出：

(000) sign:-1
(001) sign:1
(010) sign:1
(011) sign:-1
(100) sign:1
(101) sign:-1
(110) sign:-1
(111) sign:1

【讨论】：