检查共面 3D 点时出现浮点错误

Question

我正在寻找一种算法来检查一个点是否与给定的 3D 平面共面，由三个顶点定义，同时最大限度地减少浮点错误。

我想尽量减少乘法和除法的数量以减少浮点错误。

我的实现使用floats，我不能去double。

我无法使用外部库。

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我当前的方法存在以下错误：

我有使用平面方程的一般形式定义平面的代码：

ax + by + cz + d = 0

我使用三个 3D 顶点 v0、v1 和 v2 计算这些系数，如下所示：

// Pseudo-code to define a plane (with class Vector3 defining a vector in 3D)
Vector3 A = v1 - v0;
Vector3 B = v2 - v0;
Vector3 N = cross_product(A,B); // Normal vector
N.Normalize();                  // Unit normal vector storing coefs. a, b, c
float d = dot_product(N,v0);

为了检查另一个顶点p是否共面，我将点插入平面方程并检查结果是否为0：

// Pseudo-code for coplanar test:
bool is_coplanar()
{
    float res = N.x()*p.x() + N.y()*p.y() + N.z()*p.z() - d;
    return true if res is "almost" null; // "almost" is: abs(res)<EPSILON
}

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在这种情况下我的代码失败了：

v0 = [-8.50001907, 0, 323]
v1 = [8.49998093, 0, 323]
v2 = [-8.50001907, 1.49999976, 322.598083]

那么平面系数为：

N = [-0, 0.258814692, 0.965926945]
d = 311.994415

当我插入点v2 时，我发现结果与0“相距甚远”（尽管v2 用于定义平面）：

res = -3.05175781e-05

我的EPSILON 目前是1e-5。

在编译器 qcc 4.4.2（QNX Momentics，类似于 gcc）上测试。没有优化-O0.

Answer 1

这种几何谓词在很多方面都受到浮点错误的影响。唯一的工业强度解决方案是使用adaptable arithmetic filtering（前提是coplanar 测试的健壮实现不包括您）。

幸运的是，这样的implementations（这将需要相当长的时间来编写）已经可用。在上一个链接中，orient3d 谓词可以满足您的需要：给定 3 个平面形成点，确定第 4 个位于平面上方、下方还是平面上

如果这样的实现太过分了，请检查简单的实现。它总共提供 4 个：

orient3dfast() 近似 3D 方向测试。非鲁棒性。
orient3dexact() 精确的 3D 方向测试。强大。
orient3dslow() 另一个精确的 3D 方向测试。强大。
orient3d() 自适应精确 3D 方向测试。强大。

免责声明：代码清单是作为获得稳健解决方案所需的数学概念和编程技术的教程提供的。我既不建议也不暗示复制粘贴任何内容。