获取多面体（3D 对象）的表面积

Question

我有一个 3D 表面，（想想 xy 平面）。飞机可以倾斜。 （想想坡路）。

给定定义表面的 3D 坐标列表（Point3D1X、Point3D1Y、Point3D1Z、Point3D12X、Point3D2Y、Point3D2Z、Point3D3X、Point3D3Y、Point3D3Z、等等），如何计算表面的面积？

请注意，我的问题类似于在 2D 平面中查找区域。在二维平面中，我们有一个定义多边形的点列表，使用这个点列表我们可以找到多边形的面积。现在假设所有这些点都具有z 值，它们在 3D 中被提升以形成表面。我的问题是如何找到那个 3D 表面的面积？

Answer 1

您可以根据二维解导出解。

考虑由一堆较小的三角形组成的多边形。

将每个三角形投影回 XY 平面。您可以证明原始三角形的面积是投影三角形面积的 1/(n.k) 倍。 （这里n是包含多边形的平面的法线单位，k是z方向的单位向量）

所以原件的总面积是投影到 XY 平面上的多边形面积的 1/(n.k) 倍。您可以使用现有的 2D 公式来计算。

您可以通过 (e1 x e2 ) / || 计算 n e1 x e2 ||其中 e1 和 e2 是多边形的任意 2 条非平行边。

当然，通过投影到 XZ 或 YZ 平面，您可以获得更好（更准确）的结果。您应该选择法线最接近您的平面的那个。

Answer 2

我不知道如何优化这种方法（我之前没有在代码中做过），但是从数学上接近它的方法是将你的形状分成三角形，然后可以很容易地计算出三角形的面积并求和。 （记住：三角形的面积是宽 * 高 * 0.5 - 你需要计算非直角三角形的高度。）

在 3D 中执行这些操作通常意味着每个阶段都需要进行一次计算。例如，在 2D 中，2 点之间的距离（形状的边长）是这样计算的（伪代码，因为我这台机器上没有 VS）：

double DistanceBetween(Point a, Point b)
{
   double dx = a.x - b.x;
   double dy = a.y - b.y;
   return SquareRoot(dx*dx + dy*dy);
}

在三个维度上变成：

double DistanceBetween(Point3d a, Point3d b)
{
   double dx = a.x - b.x;
   double dy = a.y - b.y;
   double dz = a.z - b.z;
   return SquareRoot(dx*dx + dy*dy + dz*dz);
}

将一个形状分割成任意三角形只需要一次选择任意三个相邻的顶点，直到你只剩下最后三个。

Answer 3

既然你说它是一个多面体，那么stacker的链接（http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0101/algorithm_0101.htm）是适用的。

这是我根据您的情况对 C 代码的大致 C# 翻译：

// NOTE: The original code contained the following notice:
// ---------------------------------------
// Copyright 2000 softSurfer, 2012 Dan Sunday
// This code may be freely used and modified for any purpose
// providing that this copyright notice is included with it.
// iSurfer.org makes no warranty for this code, and cannot be held
// liable for any real or imagined damage resulting from its use.
// Users of this code must verify correctness for their application.
// ---------------------------------------
// area3D_Polygon(): computes the area of a 3D planar polygon
//    Input:  int n = the number of vertices in the polygon
//            Point[] V = an array of n+2 vertices in a plane
//                       with V[n]=V[0] and V[n+1]=V[1]
//            Point N = unit normal vector of the polygon's plane
//    Return: the (float) area of the polygon
static float
area3D_Polygon( int n, Point3D[] V, Point3D N )
{
    float area = 0;
    float an, ax, ay, az;  // abs value of normal and its coords
    int   coord;           // coord to ignore: 1=x, 2=y, 3=z
    int   i, j, k;         // loop indices

    // select largest abs coordinate to ignore for projection
    ax = (N.x>0 ? N.x : -N.x);     // abs x-coord
    ay = (N.y>0 ? N.y : -N.y);     // abs y-coord
    az = (N.z>0 ? N.z : -N.z);     // abs z-coord

    coord = 3;                     // ignore z-coord
    if (ax > ay) {
        if (ax > az) coord = 1;    // ignore x-coord
    }
    else if (ay > az) coord = 2;   // ignore y-coord

    // compute area of the 2D projection
    for (i=1, j=2, k=0; i<=n; i++, j++, k++)
        switch (coord) {
        case 1:
            area += (V[i].y * (V[j].z - V[k].z));
            continue;
        case 2:
            area += (V[i].x * (V[j].z - V[k].z));
            continue;
        case 3:
            area += (V[i].x * (V[j].y - V[k].y));
            continue;
        }

    // scale to get area before projection
    an = Math.Sqrt( ax*ax + ay*ay + az*az);  // length of normal vector
    switch (coord) {
    case 1:
        area *= (an / (2*ax));
        break;
    case 2:
        area *= (an / (2*ay));
        break;
    case 3:
        area *= (an / (2*az));
        break;
    }
    return area;
}

Answer 4

您是指 3D 平面多边形的面积吗？

1. http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0101/algorithm_0101.htm
2. http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/area3d/
3. http://thebuildingcoder.typepad.com/blog/2008/12/3d-polygon-areas.html

Answer 5

我赞成a fewanswers，我认为这是正确的。但我认为最简单的方法——无论是 2D 还是 3D，都是使用以下公式：

area = sum(V(i+1) × V(i))/2;

其中× 是vector cross。

执行此操作的代码是：

    public double Area(List<Point3D> PtList)
    {

        int nPts = PtList.Count;
        Point3D a;
        int j = 0;

        for (int i = 0; i < nPts; ++i)
        {
            j = (i + 1) % nPts;
            a += Point3D.Cross(PtList[i], PtList[j]);
        }
        a /= 2;
        return Point3D.Distance(a,default(Point3D));
    }

    public static Point3D Cross(Point3D v0, Point3D v1)
    {
        return new Point3D(v0.Y * v1.Z - v0.Z * v1.Y,
            v0.Z * v1.X - v0.X * v1.Z,
            v0.X * v1.Y - v0.Y * v1.X);
    }

请注意，该解决方案不依赖于 x 平面的投影，我认为这很笨重。

你怎么看？

Answer 6

另一个不需要您创建多边形网格的解决方案是围绕周边进行轮廓积分。您使用Green's theorem 将面积积分转换为轮廓积分，然后使用Gauss quadrature 之类的简单方法对每个贡献进行积分和求和。你必须有一个周长的定义。

此过程也适用于有孔的 2D 形状。您只需要定义一个从外周边延伸到孔的切口，围绕孔整合，然后返回周边。

Answer 7

@Graviton 我无法对上述答案发表评论，因此我将提交一个新答案。

这可能是我对 c# 语法的不熟悉，但我相信您的答案是缺少单位法向量的点积。公式应该是：

area = n.sum( V(i+1) x V(i) )/2;

其中n 是指平面的单位法向量，. 是点积，x 是叉积。

可以使用多边形的任意 3 个向量计算法线：

n = (V1-V0)x(V2-V0)/magnitude((V1-V0)x(V2-V0))

这是一个使用 Vector.js 库的 javascript 实现：

  function getArea (vecs) {
    var area = 0;
    var vecs = [];
    var j = 0;
    var a = new Vector(0,0,0);

    for (var i = 0; i < vecs.length; i++) {
      j = (i + 1) % vecs.length;
      a = a.add( vecs[i].cross(vecs[j]) );
    }
    a = a.divide(2);
    var v1 = vecs[1].subtract(vecs[0]);
    var v2 = vecs[2].subtract(vecs[0]);
    var normal = v1.cross(v2);
    normal = normal.unit();
    // area = a.length()/10000; // convert to m2
    area = (normal.dot(a))/10000;
    return area;
  };