如果 g , h 是这样的函数 f(n) = O(g(n)) 并且 g(n) = O(h(n)) 证明 f(n) = O(h(n))答案

【问题标题】：If, g , h are functions such that f(n) = O(g(n)) and g(n) = O(h(n)) prove f(n) = O(h(n))如果 g , h 是这样的函数 f(n) = O(g(n)) 并且 g(n) = O(h(n)) 证明 f(n) = O(h(n))
【发布时间】：2013-01-20 17:09:39
【问题描述】：

我目前正在上我的第一堂离散数学课，但遇到了一些麻烦。这是我第一次遇到 big Oh，我在理解这个特殊问题时遇到了一些麻烦。

我理解证明n <= O(n)，因为我可以在数学上证明存在这样一个常数，它适用于所有 n >= k 的值

如果 f, g , h 是这样的函数 f(n) = O(g(n)) 和 g(n) = O(h(n))

用课堂上给出的big oh的定义来证明f(n) = O(h(n))

我的回答是

|f(n)| <= U1|g(n)| for all n >= k

|g(n)| <= U2|h(n)| for all n >= j

因此

|f(n)| <= U3|h(n)| for all n >= i

因此f(x) = O(h(x))

我试图在她的办公时间见教授，但她说我的校对不正确，但并没有真正说明原因。我在这上面花了很长时间，我什至不知道该怎么办。任何帮助都会很棒...

好的！让我再试一次！

|f(n)| <= U1|g(n)| for all n >= k

|g(n)| <= U2|h(n)| for all n >= j

让i 等于k ∨ j 中的最大值。

让U3等于U1 * U2

f(n) <= U3|h(n)| for all n >= i

因此

f(n) = O(h(n))

更好？

【问题讨论】：

在Math StackExchange你可能会有更好的运气
这不是数学。这是具有大 O 符号的基本算法。作业问题？
是的，这是一个家庭作业问题。是的，我知道这是一个基本问题。答案很明显，但就措辞/校对而言，我不知道教授在寻找什么
好吧，U3 和 i 应该是什么？它们是从天上掉下来的吗？
顺便说一句，这个属性叫做Transitivity。

标签： algorithm math big-o

【解决方案1】：

使用大 O 定义：

f = O(g) iff exist c, n0 > 0 such that forall n >= n0 then 0 <= f(n) <= cg(n)

g = O(h) iff exist k, n1 > 0 such that forall n >= n1 then 0 <= g(n) <= kh(n)

现在取最后一个不等式并将所有成员除以c：0 <= f(n)/c <= g(n)，我们可以在第二个不等式中替换g(n)：0 <= f(n)/c <= kh(n)。最后将所有成员乘以c，得到0 <= f(n) <= kch(n)，即f = O(h)的定义：

f = O(h) iff exist j, n2 > 0 such that forall n >= n2 then 0 <= f(n) <= jh(n)

在我们的例子中是：n2 = max(n0, n1) 和 j = ck。

【讨论】：

为什么n2必须是最大的n0和n1？

【解决方案2】：

您可以使用 Bachmann-Landau 符号的极限解释。

那么你可以使用以下推理：

【讨论】：

他们似乎没有使用限制来定义 O。
商的限制通常不存在。 f \in O(g) 表示lim sup |f(x)/g(x)| < \infty，所以如果你用lim sup 代替你的限制，你会得到一些东西。
@DanielFischer 是的。一般来说，当然你是对的，我们必须使用最高限制而不是限制。

【解决方案3】：

如果您将第二个不等式替换为第一个不等式，您应该以U3 = U1 * U2 结尾，但您所谓的“i”是关键点。我认为（但我的理论时代已经过去了，所以我可能错了）你可以优雅地结束 n >= argmax{ k, j }。

【讨论】：