O(f(n)) + Ω(g(n)) 是否等于 Ω(f(n)) + O(g(n))？答案

【问题标题】：Does O(f(n)) + Ω(g(n)) equal Ω(f(n)) + O(g(n))?O(f(n)) + Ω(g(n)) 是否等于 Ω(f(n)) + O(g(n))？
【发布时间】：2020-08-05 21:13:56
【问题描述】：

下面的等式是真的吗？：

O(f(n)) + Ω(g(n)) = Ω(f(n)) + O(g(n))

我知道 Big O 的意思是不比 (function) 好，而 Big Omega 的意思是不比 (function) 差。但我不知道这是否使上述说法正确或错误。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

令$f(n) = n, g(n)= 2^n$

$t(n) = 2n$ 在第二组，因为 $n = Ω(f(n))$ 和 $n = O(g(n))$，但不在第一组

【讨论】：

所以我让 t(n) 为 t(n) = t1(n) + t2(n) t1(n) = n, t2(n)=n t1(n)∈ Ω (f(n)) , t2(n)∈O(g(n)) 这是对的。另一方面(对方) t1(n)∈O(f(n)) , t2(n) ∉ Ω(g(n))

【解决方案2】：

我们有三种一般情况（递增函数）：

案例 1： f(n) ∈ o(g(n))（注意“小哦”）。

在这种情况下，O(f(n)) ⊂ O(g(n)) 和 Ω(g(n)) ⊂ Ω(f(n))。因此，O(f(n)) + Ω(g(n)) 是 O(g(n)) + Ω(f(n)) 的真子集。

例如，如果 f(n) = n 且 g(n) = n³，则 n² 在 Ω(f(n)) + O 中(g(n))，但不在 O(f(n)) + Ω(g(n)) 中。
案例2： f(n) ∈ Θ(g(n))

在这种情况下，O(f(n)) = O(g(n)) 和 Ω(g(n)) = Ω(g(n))，所以这两个集合是相等的。
案例3： f(n) ∈ ω(g(n))

这种情况相当于情况1，只是将f和g翻转了。所以通过对称性，我们有 O(f(n)) + Ω(g(n)) 是 O(g(n)) + Ω(f(n)) 的正确超集。

总之，这两个集合在一般情况下是不相等的。

【讨论】：