f = Ω(log n) 和 g = O(n) 是 g(n) = O(f (n))

Question

给定两个函数 f = Ω(log n) 和 g = O(n)，考虑以下语句。为了 每个陈述，写出是真是假。对于每个错误的陈述，写两个 显示反例的函数 f 和 g。

 1) g(n) = O(f (n))
 2) f (n) = O(g(n))
 3) f (n) = Ω(log (g(n)))
 4) f (n) = Θ(log (g(n)))
 5) f (n) + g(n) = Ω(log n)

我知道 Big O 的意思是不比 (function) 好，而 Big Omega 的意思是不比 (function) 差。但我不知道这是否使上述说法正确或错误。

Answer 1

1. 错误。一个反例是g(n) = n \in O(n) 和f(n) = log(n) \in Omega(log(n))。这两个假设都是正确的，但g(n)不在O(f(n))中。

2. 错误。一个反例是g(n) = log(n) \in O(n) 和f(n) = n \in Omega(log(n))，但f(n) 不在O(g(n)) 中。

3. 没错。如f(n) \in Omega(log(n))，表示lim_{n\to\infty} f(n)/log(n) > 0。作为g(n) \in O(n)，我们可以直接得出结论lim_{n\to\infty} f(n)/log(g(n)) > 0。因此f(n) \in Omega(log(g(n))。

4. 错误。一个反例是f(n) = n \in Omega(n) 和g(n) = log(n) \in O(n)，但f(n) 不在theta(g(n)) = theta(log(n)) 中。

5. 没错。如f(n) \in Omega(log(n))，表示lim_{n\to\infty} f(n)/log(n) > 0。因此A = lim_{n\to\infty} (f(n) + g(n))/log(g(n)) = f(n)/log(n) + g(n)/log(n)。因此，作为g(n) > 0，A > 0，它的意思是f(n) + g(n) \in Omega(log(n))。