所以我正在努力证明（或反驳）上述问题。我觉得这是真的，但我不知道如何表现出来。
同样，问题是如果 g(n) 是 o(f(n))，那么 f(n) + g(n) 是 Theta(f(n))
注意，这是一个little-o，不是一个big-o！！！
到目前为止，我已经设法（轻松地）表明：
g(n) = o(f(n)) -> g(n)
那么 g(n) + f(n) -> (g(n) + f(n)) = O(f(n))
但是，为了展示 Big Omega，我不知道该怎么做。
我这样做对吗？
编辑：每个人都提供了很大的帮助，但我只能标记一个。谢谢。
【问题讨论】：
标签： algorithm math time-complexity little-o
一种选择是采用 (f(n) + g(n)) / f(n) 的极限，因为 n 趋于无穷大。如果它收敛到一个有限的非零值，那么 f(n) + g(n) = Θ(f(n))。
假设对于足够大的 n，f(n) 不为零，则上述比率在极限范围内为
(f(n) + g(n)) / f(n)
= f(n) / f(n) + g(n) / f(n)
= 1 + g(n) / f(n)。
因此，在 n 趋于无穷大时取极限，上式收敛到 1，因为比率变为零（这就是 g(n) 为 o(f(n)）的含义。
【讨论】：
到目前为止一切顺利。
对于下一步，请记住在最好的情况下，0 <= g(n)；这应该会让你在g(n) + f(n) 上获得一个下限。
【讨论】：
f(n) <= g(n) + f(n)，事实上0 <= g(n)。将它与你已经得到的不等式结合起来，你就有了下限和上限......
在开始之前，让我们先说明一下 little-o 和 Big-Theta 符号的含义：
Little-o 符号
正式地，
g(n) = o(f(n))（或g(n) ∈ o(f(n))）适用于 足够大n意味着对于每个正常数ε存在一个常量N使得|g(n)| ≤ ε*|f(n)|, for all n > N (+)
来自https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation#Little-o_notation。
Big-Θ 符号
h(n) = Θ(f(n))表示存在正常数k_1,k_2和N，这样k_1 · |f(n)|和k_2 · |f(n)|是一个上限 和|h(n)|的下限分别为n > N，即k_1 · |f(n)| ≤ |h(n)| ≤ k_2 · |f(n)|, for all n > N (++)
鉴于： g(n) ∈ o(f(n))
因此，在我们的例子中，对于每个ε>0，我们可以找到一些常量N，例如(+)，对于我们的函数g(n) 和f(n)。因此，对于n>N，我们有
|g(n)| ≤ ε*|f(n)|, for some ε>0, for all n>N
Choose a constant ε < 1 (recall, the above holds for all ε > 0),
with accompanied constant N.
Then the following holds for all n>N
ε(|g(n)| + |f(n)|) ≤ 2|f(n)| ≤ 2(|g(n)| + |f(n)|) ≤ 4*|f(n)| (*)
去掉(*)中最左边的不等式并除以2，我们有：
|f(n)| ≤ |g(n)| + |f(n)| ≤ 2*|f(n)|, n>N (**)
我们看到这正是 Big-Θ 符号的定义，如 (++) 中所示，具有常量 k_1 = 1、k_2 = 2 和 h(n) = g(n)+f(n)。因此
(**) => g(n) + f(n) is in Θ(f(n))
我们已经证明g(n) ∈ o(f(n)) 隐含(g(n) + f(n)) ∈ Θ(f(n))。
【讨论】：