Theta 表示法和最坏情况运行时间嵌套循环答案

【问题标题】：Theta Notation and Worst Case Running time nested loopsTheta 表示法和最坏情况运行时间嵌套循环
【发布时间】：2016-03-07 21:51:46
【问题描述】：

这是我需要分析的代码：

i = 1
while i < n
  do
    j = 0;
    while j <= i
       do
          j = j + 1
    i = 2i

所以，第一个循环应该运行 log(2,n)，而最里面的循环应该运行 log(2,n) * (i + 1)，但我很确定这是错误的。如何使用 theta 表示法来证明它？

【问题讨论】：

标签： algorithm performance time-complexity nested-loops big-theta

【解决方案1】：

考虑这一点的一种直观方法是查看内循环对外循环变量i的固定值做了多少工作。这显然与 i 本身一样多。因此，如果 i 的值为 256，那么您将执行多次j = j + 1。

因此，完成的总工作是 i 在外循环执行中所取值的总和。该变量正在迅速增加以赶上 n。它的值，由i = 2i（应该是i = 2*i）给出，将类似于：2, 4, 8, 16, ...，因为当i = 1 时，我们从内部循环的2 次迭代开始。这是一个几何系列：a, ar, ar^2 ... 与 a = 1 和 r = 2。如您所见，最后一个术语将是n，并且该系列中将有log2 n 术语。这就是几何级数的简单求和。

为这个算法设置最坏情况或最好情况没有多大意义，因为输入没有不同的排列，在这种情况下只是一个数字n。当特定输入（例如特定的数字序列）影响算法的运行时间时，最佳情况或最坏情况是相关的。

那么运行时间就是sum of geometric series（a.(r^num_terms - 1)/(r-1)）：

T(n) = 2 + 4 + ... 2^(log2 n)
     = 2 . (2^log2 n - 1)
     = 2 . (n - 1)
     ⩽ 3n = O(n)

因此，您所做的工作不能超过 n 的某个常数倍数。因此，该算法的运行时间为O(n)。

您不能做一些小于 n 的某个（其他）常数倍数的工作，因为您必须通过内循环中的增量，如上所示。因此，该算法的运行时间也≥c.n，即Ω(n)。

这意味着这个算法的运行时间是Θ(n)。

【讨论】：

好吧，所以最坏情况下的运行时间就是最内层循环运行的次数，对吗？以及如何使用 theta 表示法来证明它？
@Chris 我已经更新它的完整性，让我知道是否清楚（你可以通过接受答案这样说）。

【解决方案2】：

您不能在最终表达式中使用i；只有n。

您可以很容易地看到，每次到达内部循环都会执行i 次。听起来您已经弄清楚i 可以具有的不同值。所以把这些值加起来，你就得到了总的工作量。

【讨论】：