用于计算非常非常大的正整数的幂函数的数字模数答案

【问题标题】：Digit wise modulo for calculating power function for very very large positive integers用于计算非常非常大的正整数的幂函数的数字模数
【发布时间】：2014-08-04 11:12:32
【问题描述】：

您好，我正在编写代码来计算 P^Q 的位置

P, Q are positive integers which can have number of digits upto 100000

我想要的结果是

result = (P^Q)modulo(10^9+7)

例子：

P = 34534985349875439875439875349875 
Q = 93475349759384754395743975349573495
Answer = 735851262

我尝试过使用这个技巧：

 (P^Q)modulo(10^9+7) = (P*P*...(Q times))modulo(10^9+7)

 (P*P*...(Q times))modulo(10^9+7) = ((Pmodulo(10^9+7))*(Pmodulo(10^9+7))...(Q times))modulo(10^9+7)

由于 P 和 Q 都非常大，我应该将它们存储在一个数组中，并逐位取模。

是否有任何有效的方法可以做到这一点，或者我缺少一些数论算法？

提前致谢

【问题讨论】：

您可能对The GNU Multiple Precision Arithmetic Library感兴趣？
如果你决定存储在数组上，你可以使用 BCD 编码来节省内存。
@JoachimPileborg 谢谢。它看起来很有趣，但由于数字 (10^9) 是一个素数并且这个问题涉及一个素数模数，我有一种直觉，我忘记了一些数论定理可能会在这里有所帮助。我正在寻找一些数论技巧，因为这个问题更多的是关于数学技巧而不是编程范式。
那么也许你应该像math.stackexchange.com那样代替？
@JoachimPileborg 感谢您的指出。我没有意识到这一点。我已经在那里发布了这个问题。

标签： c++ algorithm math modulo number-theory

【解决方案1】：

这是一个相当有效的方法：

1)计算 p1 = P 模 10^9 + 7

2)计算 q1 = Q 模 10^9 + 6

3) 那么 P^Q 模 10^9 + 7 等于 p1^q1 模 10^9 + 7。由于费马小定理，这个等式成立。请注意，p1 和 q1 足够小以适合 32 位整数，因此您可以使用标准整数类型实现二进制指数（对于中间计算，64 位整数类型就足够了，因为初始值适合 32 位）。

【讨论】：

是的，费马的小家伙