2 个整数区间的非幂的混合函数

Question

我正在寻找一个混合函数，它从区间

我想将此函数用作实时渲染器中的像素洗牌步骤，以选择渲染像素的顺序（输出将在固定时间后显示，如果尚未完成，这会给我带来噪音但快速部分预览）。间隔大小 n 将是渲染中的像素数（n = 1920*1080 = 2073600 将是一个典型值）。该函数必须是一对一的，这样我才能确保每个像素在完成时都只渲染一次。

我查看了 hash prospector 使用的可逆构建块，但这些主要针对 2 范围的幂。

我能想到的唯一其他方法是乘以大素数，但它并没有给出特别好的随机输出。

这里还有哪些其他选项？

Answer 1

这是一种基于原根模素数的解决方案：

如果a 是原始根模p，则函数g(i) = a^i % p 是小于p 的非零元素的排列。这对应于Lehmer prng。如果n < p，则可以得到0, ..., n-1的排列如下：给定i在该范围内，先加1，然后反复乘以a，取结果modp，直到得到一个元素即<= n，此时您返回结果 - 1。

为了填写详细信息，this paper 包含一个表格，其中给出了一系列素数（所有这些都接近2 的各种幂）和相应的原始根，它们被选择以便产生具有良好的生成器统计性质。这是该表的一部分，编码为 Python 字典，其中键是素数，原始根是值：

d = {32749: 30805,
     65521: 32236,
     131071: 66284,
     262139: 166972,
     524287: 358899,
     1048573: 444362,
     2097143: 1372180,
     4194301: 1406151,
     8388593: 5169235,
     16777213: 9726917,
     33554393: 32544832,
     67108859: 11526618,
     134217689: 70391260,
     268435399: 150873839,
     536870909: 219118189,
     1073741789: 599290962}

给定n（在某个范围内——如果您需要扩大该范围，请参阅论文），您可以找到最小的p 有效：

def find_p_a(n):
    for p in sorted(d.keys()):
        if n < p:
            return p, d[p]

一旦你知道n 和匹配的p,a，下面的函数就是0 ... n-1 的排列：

def f(i,n,p,a):
    x = a*(i+1) % p
    while x > n:
        x = a*x % p
    return x-1

快速测试：

n = 2073600
p,a = find_p_a(n) # p = 2097143, a = 1372180
nums = [f(i,n,p,a) for i in range(n)]
print(len(set(nums)) == n) #prints True

f() 中的平均乘法次数为p/n，在本例中为1.011，并且永远不会超过2（或稍大一些，因为p 不是@ 的精确幂987654348@)。在实践中，这种方法与您的“乘以大素数”方法没有根本不同，但在这种情况下，因子的选择更加谨慎，而且有时需要不止 1 次乘法来增加明显的随机性。