2的幂得到一个整数答案

【问题标题】：Power of two to get an integer2的幂得到一个整数
【发布时间】：2015-01-08 12:06:49
【问题描述】：

我需要一种（相当）快速的方法来为我的代码获取以下内容。背景：我必须使用数字的幂及其乘积，所以我决定使用日志。现在我需要一种将日志转换回整数的方法。

我不能只取 2^log_val（我正在使用 log base 2），因为答案会太大。事实上，我需要为给定的 M 给出答案 mod M。

我试过这样做。我将 log_val 写为 p+q，其中 q 是浮点数，q

这对我来说太长了，因为在最坏的情况下我会采取 O(p) 步骤。有没有更好的办法？

【问题讨论】：

M 是固定的吗？根据您拥有的内存量和所需的精度，您可以将四舍五入的 2^q 值存储在预先计算的表格中。
实际上没有，我有很多不同的 M。并且 q 是一个浮点数
浮点数仍然是 32 位值，所以它们可以用作查找表的索引。而且，根据所需的精度，您可以将p+q 存储为 64 位定点数，其中小数部分为 32 位，整数部分为 32 位。
更好的是，一旦你这样做了，你可以试试这里解释的right-to-left binary method。
您尝试解决的原始问题是什么？也许日志不是朝着正确方向迈出的一步。

【解决方案1】：

如果您需要答案mod N，您通常可以完成整个计算的每一步mod N。这样，您就永远不会超出系统的整数大小限制。

【讨论】：

【解决方案2】：

虽然将大量数字用作日志通常是一种不错的方法，但在这里却行不通。问题是在日志空间中工作会丢弃最低有效数字，因此您丢失了信息，并且无法返回。在 mod 空间工作也会丢掉信息（否则你的数字会变得很大，正如你所说），但它会丢掉最重要的信息。

对于您的特定问题POWERMUL，我要做的是计算从1 到N 的数字的素数分解。您必须小心操作，因为您的 N 相当大。

现在，如果你的数字是 k 和 {2: 3, 5: 2} 的素因式分解，你会得到 k^m 的因式分解 {2: m*3, 5:m*2}。除法同样变成减法。

一旦您获得了f(N)/(f(r)*f(N-r)) 的素数分解表示，您就可以使用模乘和取幂的组合重新创建整数。后者是一种很酷的查找技术。（事实上，像 python 这样的语言已经内置了 pow(3, 16, 7)=4。

玩得开心:)

【讨论】：

质数分解 n 数的最佳方法是什么？大约有 10^4 个素数，直到 10^5
使用埃拉托色尼筛通常是最快的。但是，更多地考虑您的问题，您可能会想出一个更快的方法。考虑“2^2*4^4*6^6...中有多少二的因数”等。
是的，但仍然是 10^5*10^4 个素数 = O(10^9) 步
使用我之前评论的技术，你没有得到10^5的因素。在恒定时间内（用笔和纸）我计算出 2 除以 '1^1*2^2*3^3*...*(10^5)^(10^5)' 5000265024 次。（实际上是 logN 时间）。
是的，但我需要每隔多少次素数除以它，而 10^5 来自查询需要 '1^1*2^2*3^3*.. .*r^r 代表所有 r