处理具有非整数指数的负底的幂函数

Question

Math.pow()、pow()，不管叫什么，很多语言（和计算器）都有一些内置函数来计算浮点数（或双精度数）的 x=a^b。有 a 为负数且 b 不是整数的特殊情况。有些会返回NaN，有些会给出复杂的结果（咳咳Python）。但有些实际上能够给出真正的结果，所以我想知道的是如何。为了解释我的困惑：

假设 b 是有理数：b=c/d。现在我们看看c和d的奇偶校验：

• d 是偶数：没有实数 x -> NaN 或错误

• d 为奇数，c 为偶数：正 x

• d 为奇数，c 为奇数：负 x

浮点数存储在a particular format 中，这意味着如果按字面解释，它始终是偶数 d（实际上是 2 的幂）。没有办法知道 c 和 d 的真正奇偶校验，因为该信息在计算中丢失了。它只需要猜测。

所以我猜测它在做什么——它试图找到一个接近 b 的有理 c/d，d 为奇数，并且 c 和 d 都小于某个阈值 t。较小的 t 意味着它可以更确定它是正确的，但它会在更少的数字上起作用。如果成功，它使用 c 的奇偶校验。否则它假装 d 是偶数。毕竟，浮点数可以是任何东西，数学库不想通过假设它是合理的而给出可能错误的结果。

不过，这只是我的猜测。如果有人真正看到过这些幂函数（或规范，同样好）中的代码并且可以提供见解，那就太好了。

Answer 1

先见：Power by squaring for negative exponents

现在假设x^y 的情况，其中x<0 和y 不是整数。如果你使用

x^y = exp2(y*log2(x))

那么你会受到log2 定义范围的限制，因此是NaN 或|x|^y。如果您想要更好的东西，您可以尝试将y 分解为这种形式：

y = a/b

其中a,b 是整数。如果可能（或者如果应用了四舍五入），那么您将问题更改为：

x^y = (x^a)^(1/b)

所以现在您可以处理更多案件（完全按照您的建议）：

1. 如果a 是偶数，则子结果不再是负数

   作为x^a>=0 所以(x^a)^(1/b)>=0

2. 如果a,b 都是奇数，结果是否定的

3. 否则结果为NaN 或改用|x|^y

现在回到您的float 问题，号码始终采用这种形式：

y = mantissa*exp2(exponent)

所以是的b 是偶数（除非exponent!=0 表示数字是整数）。由于mantissa 存储为整数，因此您可以通过检查其LSB 来获得其奇偶性。不要忘记，在floats 中，MSB 是缺失的，并且始终应该是1，除非存在像反规范化或Nan/Inf 数字这样的特殊情况

Answer 2

如果您准备作弊，可以通过以下方式对任何权力提出否定意见：

x^(b/c)=x^(2b/2c)=(x^2b)^(1/2c)

x^2b 是正数，所以取 2c-th 根没有问题