捕获一个对象相对于另一个对象的位置和旋转

Question

我有两个相同的对象和两个相机。我想要实现的目标如下：

1) 捕捉Cube A相对于Camera A的位置和旋转

2) 将其转移到立方体 B，以便在相机 B（我无法移动）中，立方体 B 看起来与立方体 A 在相机 A 中的外观完全相同

我使用以下代码成功地使用了位置：

positionDifference = CubeA.InverseTransformPoint(CameraA.transform.position);

要将它转移到立方体 B，我这样做：

cubeBpos = transform.InverseTransformPoint(CubeB.transform.localPosition);      

while ( Mathf.Abs (cubeBpos.x + positionDifference.x) > 0.01f ) {
    if (cubeBpos.x + positionDifference.x > 0) {
        CubeB.transform.position += new Vector3(-0.01f, 0, 0);
    } 
    else if (cubeBpos.x + positionDifference.x < 0) {
        CubeB.transform.position += new Vector3(+0.01f, 0, 0);  
    }
    cubeBpos = transform.InverseTransformPoint(CubeB.transform.position);
}

这很笨重，但很有效。但是，当我尝试转移旋转时，立方体 B 开始围绕原点旋转。有趣的是，当我在世界坐标中移动立方体 A 时，立方体 B 在本地移动，反之亦然。我怀疑本地到世界坐标转换是一个问题，但我也认为我的旋转代码很幼稚。我尝试以两种方式捕获旋转，首先是这样的：

rotationDifference = Quaternion.Inverse(CubeA.transform.rotation) * CameraA.transform.rotation;

CubeB.transform.rotation = Quaternion.Inverse(rotationDifference);

第二次尝试：

rotationDifference = new Vector3(transform.eulerAngles.x, transform.eulerAngles.y, transform.eulerAngles.z);

CubeB.transform.eulerAngles = rotationDifference;

这两种方法都会导致奇怪的旋转偏移。我尝试使用 localPosition 和 localEulerAngles，没有帮助。

我希望有更聪明的方法来做到这一点:)

编辑： 这是项目的 Dropbox link

Answer 1

问题是您将位置和旋转分开处理，尽管它们相互影响。让我们把两者放在一起，假设我们有两个相机和两个立方体的模型变换（表示为齐次矩阵；假设列向量）。然后，我们要找到立方体 B TCubeB 的变换，这样：

TCameraA^-1 * TCubeA = TCameraB^-1 * TCubeB

注意TCamera 是相机的模型变换，而不是视图矩阵。如果您有视图矩阵，只需将逆矩阵放在一边。

我们可以立即解决TCubeB：

TCameraB * TCameraA^-1 * TCubeA = TCubeB

我对 Unity API 不太熟悉，但您似乎不能直接使用转换矩阵。所以让我们将变换矩阵T拆分为旋转部分R和平移部分Tr：

TrCameraB * RCameraB * (TrCameraA  * RCameraA)^-1 * TrCubeA * RCubeA = TrCubeB * RCubeB
TrCameraB * RCameraB * RCameraA^-1 * TrCameraA^-1 * TrCubeA * RCubeA = TrCubeB * RCubeB

如果我们只关心旋转，我们可以通过简单地计算相应的四元数：

QCameraB * QCameraA^-1 * QCubeA = QCubeB

翻译变得有点困难。我们需要找到平移变换，这样

TrCameraB * RCameraB * RCameraA^-1 * TrCameraA^-1 * TrCubeA * RCubeA * RCubeB^-1 = TrCubeB

要找到平移向量，只需将原点乘以左侧：

TrCameraB * RCameraB * RCameraA^-1 * TrCameraA^-1 * TrCubeA * RCubeA * RCubeB^-1 * (0, 0, 0, 1)

在伪代码中，这归结为（出现的矩阵代表各自的翻译向量）：

Vector4 translation = (0, 0, 0, 1)
translation += TrCubeA
translation -= TrCameraA
translation = RCameraA.Inverse().Transform(translation)
translation = RCameraB.Transform(translation)
translation += TrCameraB

同样，我几乎不了解 Unity API，它可能使用一些与我不同的约定（转换数学中的约定特别棘手）。但我相信如果有不正确的地方，你可以调整上述推导。

Answer 2

Nico 的出色回答解决了我的问题，但由于注释部分中的代码格式不是为此而构建的，以下是我根据 Nico 的回答为 Unity 编写的代码：

    Vector3 translation = new Vector3(0,0,0);
    translation += cubeA.transform.position;
    translation -= cameraA.transform.position;
    translation = cameraA.transform.InverseTransformPoint(translation);
    translation = cameraB.transform.TransformPoint(translation/2);

    cubeB.transform.position = translation;

    Quaternion rotation = Quaternion.identity;
    rotation = cameraB.transform.rotation * Quaternion.Inverse(cameraA.transform.rotation) * cubeA.transform.rotation;

    cubeB.transform.rotation = rotation;

它不是一对一的，但它达到了我的期望：如果立方体 A 是静止的，而摄像机 A 围绕它移动，那么立方体 B 相对于摄像机 B 的移动方式使得立方体 A 和立方体 B 总是相对于它们各自的相机具有完全相同的位置和旋转。