平衡二叉搜索树的摊销复杂度答案

【问题标题】：Amortized complexity of a balanced binary search tree平衡二叉搜索树的摊销复杂度
【发布时间】：2013-03-02 23:42:55
【问题描述】：

我不完全确定摊销复杂性意味着什么。采用平衡二叉搜索树数据结构（例如红黑树）。正常搜索的成本自然是 log(N)，其中 N 是节点数。但是，按升序排列的 m 次搜索序列的摊销复杂度是多少。它只是 log(N)/m 吗？

【问题讨论】：

标签： binary-search-tree time-complexity red-black-tree amortized-analysis

【解决方案1】：

好吧，您可以将渐近分析视为设置算法运行时间上限的严格方法，而摊销分析是一种较为宽松的方法。

例如考虑一个算法 A 有两个语句 S1 和 S2。执行 S1 的成本是 10，S2 是 100。这两个语句都放在一个循环中，如下所示。

n=0;
while(n<100)
{
  if(n % 10 != 0)
  {
    S1;
  }
  else
  {
    s2;
  }
  n++;
}

这里S1执行的次数是S2的10倍。但是渐近分析只会考虑 S2 需要 10 个单位的时间并且它在一个循环中执行 100 次的事实。因此，执行时间的上限约为 10 * 100 = 1000。其中，摊销分析平均了语句 S1 和 S2 的执行次数。因此，执行的上限时间约为 200。因此，摊销分析可以更好地估计执行算法的上限。

【讨论】：

谢谢。所以在平衡二叉搜索树的情况下，它只是 O(logN)/m？（因为 O(logN) 是搜索的最坏情况）。其实我们每次都要回根吗？

【解决方案2】：

我认为是 mlog(N)，因为你必须做 m 个搜索操作（每次从根节点到目标节点），而单个操作的复杂度是 log(N)。

编辑：@user1377000 你是对的，我把分期复杂度和渐近复杂度弄错了。但我不认为它是 log(N)/m... 因为不能保证你可以在 O(logN) 时间内完成所有 m 搜索操作。

What is amortized analysis of algorithms? 我认为这可能会有所帮助。

【讨论】：

你确定吗？摊销复杂性似乎是一种平均值。我不确定如何。
好吧，我认为搜索的最坏情况是 O(logN)。所以从技术上讲，它应该是 O(log(N)/m)。但我也听到有人说它是 O(log(N/m))... 也许如果我们不每次都从根搜索，但记住位置。

【解决方案3】：

在平衡搜索树的情况下，摊销复杂度等于渐近复杂度。每个搜索操作都需要O(logn) 时间，包括渐近和平均时间。因此对于m 搜索，平均复杂度将为O(mlogn)。

【讨论】：

【解决方案4】：

一次性输入要找到的所有物品。

你可以从分而治之的角度来思考它。

在根节点中取项目x。
对 x 进行二进制搜索到您的 m 项目数组中。
将数组划分为小于x 和大于x 的事物。（忽略等于 x 的东西，因为你已经找到了。）
在您的左孩子中递归搜索前一个分区，在您的右孩子中搜索后者。

一个最坏的情况：您的项目数组只是叶节点中的事物列表。（n 大约是2m。）您必须访问每个节点。您的搜索将花费lg(n) + 2*lg(n/2) + 4*lg(n/4) + ...。那是线性的。可以将其视为进行越来越小的二进制搜索，直到您将数组中的每个元素都命中一次或两次。

我认为还有一种方法可以做到这一点，即在搜索后跟踪您在树中的位置。 C++ 的 std::map 和 std::set 返回可以在树中左右移动的迭代器，并且它们可能具有可以利用现有迭代器进入树的方法。

【讨论】：