如何证明 Θ(g(n)) = O(g(n)) ∩ Ω(g(n))

Question

我遇到了这个声明，根据我的理解，Theta 位于 Big O 和 Omega 之间，但我无法理解为什么会出现交集。我能否对 Θ(g(n)) = O(g(n)) ∩ Ω(g(n)) 进行数学和分析理解

Answer 1

Θ(g(n)) 表示函数在上面和下面都受 g(n) 的约束。

在数学上，如果函数 f(n) 是 Θ(g(n))，那么

0 ≤ c₁.g(n) ≤ f(n) ≤ c₂.g(n) 对于所有大于 n 的比一些常数 k

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现在，

• O(g(n)) 是 g(n) 的上限，因此 O(g(n)) 的函数上限为 g(n)。

• Ω(g(n)) 是 g(n) 的下界，因此 Ω(g(n)) 的函数是 g(n) 的下界。

O(g(n)) ∩ Ω(g(n)) 代表上下夹在 g(n) 之间的函数，如下图所示，根据定义，它是 Θ(g(n))。

在数学上，这意味着函数是 0 ≤ c₁.g(n) ≤ f(n) ≤ c₂.g(n)。