泰勒级数排序指数

Question

我有一个 MATLAB 代码，它生成一个 3 变量函数 f(x, y, z) 的一般泰勒级数的指数。在下面的示例中，我正在计算三阶泰勒级数。

order = 3;
nTuple = 3;
allExponents = [];
for n = 1 : order
    [~,x] = nsumk(nTuple, n); % nsumk can be downloaded from: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/28340-nsumk
    allExponents = [allExponents; x]
end

该函数生成以下系数：

0     0     1   % This means z with exponent 1; x and y with zero exponent.
0     1     0   % This means y with exponent 1; x and z with zero exponent.
1     0     0   % This means x with exponent 1; y and z with zero exponent.
0     0     2
0     1     1
0     2     0
1     0     1
1     1     0
2     0     0
0     0     3
0     1     2
0     2     1   % This means x with exponent 0, y with exponent 2 and z with exponent 1, i,e, y^2*z
0     3     0
1     0     2
1     1     1
1     2     0
2     0     1
2     1     0   % This means x with exponent 2 and y with exponent 1 and z with exponent 0, i,e, x^2*y
3     0     0

如何按以下形式对它们进行排序（它们之间的空行是为了清楚起见）：

1     0     0    % x
0     1     0    % y
0     0     1    % z

2     0     0    % x^2
0     2     0    % y^2
0     0     2    % z^2

3     0     0    % x^3
0     3     0    % y^3
0     0     3    % z^3

1     1     0    % x*y
1     0     1    % x*z
0     1     1    % y*z


1     2     0    % x*y^2
1     0     2    % x*z^2
0     1     2    % y*z^2

2     1     0    % x^2*y
2     0     1    % x^2*z
0     2     1    % y^2*z

1     1     1    % x*y*z

更新： 顺序如下：

首先是x^n，y^n，z^n，其中n是从1到泰勒级数的阶数，在本例中为3。

然后，指数相加为 2 的每两个变量的交叉乘法，例如 xy、xz 和 yz。

然后将指数加为 3 的每两个变量与指数为 1 的第一个变量进行交叉乘法，即 xy^2、xz^2、yz^2。

然后将指数加为3的每两个变量与指数为2的第一个变量进行交叉乘法，即x^2y，x^2z，y^2z。

最后，指数加为 3 的所有三个变量的乘积，即 xyz。

Answer 1

我相信以下订购规则应该可以满足您的需求。

按优先顺序...

1. 按存在的变量数（非零幂数）降序。
2. 按项的顺序（幂和）降序。
3. 非零幂的字典顺序。
4. 存在的变量的字典顺序。

实现这些规则有点混乱，但这里是代码。

% 1.
num_vars = sum(allExponents~=0, 2);
% 2.
order = sum(allExponents, 2);
% 3. Implemented by pushing all zero-elements to end of the row
[~,j] = sort(allExponents == 0, 2);
[i,~] = ndgrid(1:size(allExponents, 1), 1:nTuple);
sub = sub2ind(size(allExponents), i, j);
squeezed = reshape(allExponents(sub), size(allExponents));
% 4.
lex = allExponents == 0;

% Construct a key and sort
sort_term = [num_vars, order, squeezed, lex];
[~, idx] = sortrows(sort_term);
allExponents = allExponents(idx,:);

附：我不确定这对更高阶或更多变量的推广效果如何。我在构建解决方案时试图牢记这一点，但我没有进行测试。