指数函数的泰勒级数展开

Question

我必须用 C 编写一个程序，计算 pow(a,x) 函数的扩展。我确定我的代码是错误的，有人可以帮助我吗？

扩展：

1 + x log(a) + 1/2 x^2 log^2(a) + 1/6 x^3 log^3(a) + 1/24 x^4 log^4(a) + 1/120 x^5 log^5(a) +...

不使用 pow 函数。下一个表达式必须根据前一个表达式计算。

这是我设法带来的：

double series(double x)
{
int i;
double s,w,x2;
s=x;
w=x;
    for(i=1;i<LWS;i++)
{
    w=(w*x/(i+1))*log10(x);
    s+=w;
}
return s;
}

我已经有了剩下的代码。

Answer 1

log a 只需要计算一次。一个体面的编译器会为你做这件事，但以防万一。

现在每个学期都是 1/ i！ * x^i *loga^i

1/i! term 增长很快，意味着在几次迭代中，除非 x 很大，否则误差可以忽略不计。

如果需要，您可以继续运行因子，如果 (i 阶乘) 乘以 i（确保它是双精度数，而不是整数），xp（x 幂）在每次交互时乘以 x 并且相同碰巧loga。

我实际上不记得扩展 pow 系列，所以我只是假设您的公式是正确的。看起来基本正确。我们使用自然对数（数学符号中的ln，C中的log）哪种与阶乘项相抵消，这与e^x有关。

Answer 2

基本上，您所做的是：a^x = e^(x * ln(a))，然后使用泰勒级数展开式 e。

您的代码中有一些错误：

1. 由于您使用的是e 的扩展，因此您需要使用自然对数（以e 为底），而不是以10 为底的对数。
2. 循环外s的初始值必须设置为1。这是因为a^x = 1 when x=0（如果a != 0）。
3. 在循环之外，w 必须设置为 1。这是为了拥有一组很好的x * ln(a) 权力。早先使用w=x，x 的幂将比ln(a) 的幂多一。
4. i 必须从 i=0 开始循环。这是为了在进行上述更改后立即获得阶乘。

所以代码变成了：

double series(double x)
{
    int i;
    double s,w,x2;
    s=1.0;
    w=1.0;
    for(i=0;i<LWS;i++)
    {
        w=(w*x/(i+1))*log(x);
        s+=w;
    }
    return s;
}