构造由不同幂的基矩阵组成的块矩阵

Question

假设我们有一个基矩阵A

>> A = [1,2;-1,3]
A =

   1   2
  -1   3

我想知道是否有一个简单的命令可以构造一个由A、A^2、A^3...A^n 与任何给定正整数n 组成的块矩阵，比如

B = [A; A^2; A^3; ...; A^n]

显然，如果A 是一个标量，我们可以像A.^(1:n) 那样做。我想知道矩阵A 是否有类似的操作或某些命令。这就是我的动力。

我可以使用循环（for 循环或arrayfun）来实现，但我正在寻找一些简单而优雅的命令。

Answer 1

也不一定是答案，因为它也依赖于 cellfun，并且在精神上与此处的其他答案相似，但我认为这稍微优雅一些​​，并且使用内置函数而不是匿名函数（即保证更快，如果这对你很重要的话）。

此外，此版本适用于任何形状的指数矩阵，生成适当的“块”输出。

A = [ 1,2
     -1,3 ];

N = [ 1,2,3
      2,3,4
      3,4,5 ];

expblk = @(A,N) cell2mat(
             cellfun( @mpower, {A}, num2cell(N), 'UniformOutput', false )
         );

expblk(A,N)

% ans =
%     1    2   -1    8   -9   22
%    -1    3   -4    7  -11   13
%    -1    8   -9   22  -31   48
%    -4    7  -11   13  -24   17
%    -9   22  -31   48  -79   82
%   -11   13  -24   17  -41    3

Answer 2

在一行中完成的超级详细方式：

B= cell2mat(cellfun(@mpower,mat2cell(repmat(A,n,1),[ones(n,1)*size(A,1)],size(A,2)),mat2cell([1:n]',ones(n,1),1),'UniformOutput',false))

但是，我认为 for 循环（带有预分配）可能更快、更清晰。如果 for 循环清晰，则它不是“不优雅的”。清晰应该是你的目标，除非它的速度非常关键（同样，这个单线仍然在引擎盖下循环）。

我相信有人会想出一个更清晰的衬里，但我的 cmets 仍然适用。

PD：魔术师@LuisMendo 建议：B=cell2mat(arrayfun(@(k){A^k},1:n).') 作为更清洁的选择。 （里面还是循环）

Answer 3

在矩阵 A 可对角化的情况下，您会得到一个简单的解决方案（不是单线，但仍然如此！）：

[V,D] = eig(A);
k = size(A,1);
B = kron(eye(n),V)*(reshape(D.^reshape(1:n,[1 1 n]),[k k*n]).')*inv(V);

取自basic theory。除了在特定情况下这种解决方案外，我认为涉及Jordan形式的一般形式在Matlab中并不容易实现。

Answer 4

如果您不介意使用递归方法，也许以下可能是一种选择

function y = f(A,n)
  if n==1 
    y = A;
    return;
  end 
  y = [A;f(A,n-1)*kron(eye(n-1),A)];
end

然后

B =

    1    2
   -1    3
   -1    8
   -4    7
   -9   22
  -11   13
  -31   48
  -24   17
  -79   82
  -41    3

Answer 5

eval 可能会有所帮助：

A = [1,2;-1,3];
n = 3;
B = eval(['[A' sprintf(';A^%d',2:n) ']']);

但是，使用循环将矩阵与自身相乘非常有效，特别是当矩阵很大时。

C = cell (n,1);
D = 1;
for k = 1:n
    D *= A; % In MATLAB use D = D * A;
    C{k} = D;
end
B = vertcat(C{:});

以及它的 eval Octave 语法版本（为了好玩，不推荐）：

B = eval(['[D=A' repmat(';D*=A',1,n-1) ']']);