创建三次和/或二次贝塞尔曲线以拟合路径

Question

我正在使用 Lua 开发一款 2D 游戏。 我有一条由许多点组成的路径，例如，点 A 到 L：

我想沿着这条路径平稳地移动一个对象。为了实现这一点，我想根据这些点创建二次或三次贝塞尔曲线，并对这些曲线进行插值。但是，我如何正确拟合曲线，这样路径就不会被破坏，例如。一条曲线在 F 点停止，另一条曲线开始？

Answer 1

曲线拟合在这个问题中解释：How can I fit a Bézier curve to a set of data?

但是，必须有一种更简单的方法来插入点。它是这样的：

1. 细化：在每条边的中间放置一个点。
2. 对偶：在每条边的中间放一个点，去掉旧的点。
3. 重复 Dual 步骤数次。
4. 从第一步开始重复，直到曲线足够平滑。

您可以很容易地看到它在纸上有效。生成的曲线开始逼近一系列贝塞尔样条曲线。

在此 PDF 文件（第 3 节）中有更正式的描述：http://www.cc.gatech.edu/~jarek/courses/handouts/curves.pdf

这是一些 Javascript 代码：

function bspline_smooth(points, order) {

    // insert a point in the middle of each edge.
    function _refine(points) {
      var i, index, len, point, refined;
      points = [points[0]].concat(points).concat(points[points.length-1]);
      refined = [];
      index = 0;
      for (i = 0, len = points.length; i < len; i++) {
        point = points[i];
        refined[index * 2] = point;
        if (points[index + 1]) {
          refined[index * 2 + 1] = _mid(point, points[index + 1]);
        }
        index += 1;
      }
      return refined;
    }

    // insert point in the middle of each edge and remove the old points.
    function _dual(points) {
      var dualed, i, index, len, point;
      dualed = [];
      index = 0;
      for (i = 0, len = points.length; i < len; i++) {
        point = points[i];
        if (points[index + 1]) {
          dualed[index] = _mid(point, points[index + 1]);
        }
        index += 1;
      }
      return dualed;
    }

    function _mid(a, b) {
      return new Point(
        a.x + ((b.x - a.x) / 2),
        a.y + ((b.y - a.y) / 2) );
    }

    if (!order) {
       return points;
    }
    return bspline_smooth(_dual(_dual(_refine(points))), order - 1);
}

Answer 2

你不需要知道数学就可以做到这一点。

使用单独的贝塞尔曲线将每个点与下一个点连接起来。

贝塞尔曲线的端点附有“手柄”。这些手柄与曲线相切（在端点处）。要制作一条“平滑”的路径，您需要做的就是让每两条相邻贝塞尔曲线的手柄“坐”在一条线上。

要理解这一点，请尝试使用 GIMP 之类的绘图程序（但可能几乎任何其他软件都可以）。这样的程序甚至有一个特殊的键来使相邻曲线的“手柄”位于一条直线上（并且长度相同）。

您必须做出的唯一“硬”数学决定是确定这些句柄的长度。实验。您可能希望使其取决于每 3 个连续点偏离直线的距离，或者取决于点之间的距离。

最后，关于以看似恒定的速度沿曲线移动一个点（您的“对象”）：您可以使用 like this one 方法的改编版。