构造大小为 N 的 1 和 -1 的数组 A，使得所有 A[i]*A[j] 的总和为最小且为正。 1 <= i < j <= N [关闭]

Question

我在比赛中遇到了这个问题。我们给了一个数 N，我们需要构造一个大小为 N 的数组，它只包含 1 和 -1，使得每对乘积的总和的值最小且为正。 即如果数组是 A 那么

所有 1

例子：

输入 => 3

输出 => [1,1,1]

解释 - 所有可能的情况是：

[1,1,1] = 3

[1,1,-1] = -1

[1,-1,-1] = - 1

[-1,-1,-1] = 3

所以所有组合和最小可能的正例是 3。

我们怎样才能找到这样的数组？

我试图找到一种模式，但没有奏效。

Answer 1

分析起来很简单，不用写程序。

让我们注意到：

(a1 + a2 + ... + an)^2 = (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) + 2 * (a1a2 + a1a3 + ... + ana(n-1))

或者换句话说（这里不能很好地格式化）：

(sum_{i}(ai))^2 = sum_{i}(ai^2) + 2 * sum_{1 <= i < j <= N}(ai * aj)

我们在这里寻找sum_{1 <= i < j <= N}(ai * aj)。

经过一些简单的加法，我们得到：

sum_{1 <= i < j <= N}(ai * aj) = 1 / 2 * ((sum_{i}(ai))^2 - sum_{i}(ai^2))

还要注意，sum_{i}(ai^2) 是常数，因为它等于N（只有-1 或1），因此解决方案是当(sum_{i}(ai))^2 最小时，所以等于0，当N 偶数和1 奇数。

解决方案：

1. 对于 N 甚至 - N / 2 乘以 1 和 N / 2 乘以 -1 的任何排列。
2. 对于 N 奇数 - (N - 1) / 2 乘以 1 和 (N + 1) / 2 乘以 -1 或 (N - 1) / 2 乘以 -1 和 (N + 1) / 2 乘以 1 的任何排列。

编辑 - 对于最小 正 和：

具有以下基础：

sum_{1 <= i < j <= N}(ai * aj) = 1 / 2 * ((sum_{i}(ai))^2 - sum_{i}(ai^2)) = 1 / 2 * ((sum_{i}(ai))^2 - N)

我们需要找到ai，这样(sum_{i}(ai))^2 > N => sum_{i}(ai) > sqrt(N)。

如果我们有ceil(sqrt(N)) 乘以1，我们必须在1 和-1 之间分配N - ceil(sqrt(N)) = A 以保持它们的总和最小。解决方案很明显：

1. 对于A = 2 * B => B 次 1 和 -1。
2. 对于A = 2 * B + 1 => B + 1 次 1 和 B 次 -1。