找出三个数是给定数的除数且它们的和最小

Question

我试图解决这个问题超过一天，但我无法找到合理的解决方案。我认为这是一个相当简单的编程问题，更像是一个算法问题。我们有一个给定的数字 N, (1

附：一些例子 - 100 = 4×5×5, 121 = 11×11×1, 8 = 2×2×2, 400 = 8×5×10, 1000 = 10×10×10,4000=16×10×25等等。

int main() {
    int m = 0, n = 0, p = 0, q = 0, i = 0;;
    std::cin >> n;
    i = int(std::cbrt(n));
    while (true) {
        int ten = std::cbrt(n);
        if (pow(ten, 3) == n) {
            m = ten;
            p = ten;
            q = ten;
            break;
        }
        int square = n;
        if (i * i == square) {
            n = i;
            m = i;
            p = i;
            break;
        }
        if (i == 1) {
            m = n;
            p = 1;
            q = 1;
            break;
        }
        if (n % i == 0) {
            n = n / i;
            m = i;
            p = n;
            break;
        }
        i++;
    }
    i = std::cbrt(n);
    while (true) {
        int ten = std::cbrt(n);
        if (pow(ten, 3) == n) {
            m = ten;
            p = ten;
            q = ten;
            break;
        }
        int square = n;
        if (i * i == square) {
            p = i;
            q = i;
            break;
        }
        if (i == 1) {
            q = 1;
            break;
        }
        if (n % i == 0) {
            q = n / i;
            p = i;
            break;
        }
        i++;
    }
    std::cout << m << " " << p << " " << q << std::endl;
    return 0;
}

Answer 1

我发现你的想法很有趣。首先寻找一个接近三次根的分频器。然后，在第二步中，寻找接近剩余平方根的除法器。

以下代码似乎适用于您引用的案例，包括 6 的输入。

我主要尝试简化您的代码，删除看起来很奇怪且似乎没有用的代码。我还确保第二步是有效地尝试搜索接近剩余平方根的因子，这有一点错误。

我没有尝试提高程序的速度。我想第一步是测试算法的有效性。在第二步中，正如评论中所建议的那样，可以使用输入的主要因素来固定程序，同时保持相同的策略。

在这里，最坏情况下的复杂度为 O(n)，这看起来已经相当不错了。

编辑： 为了稍微固定程序，我尝试以负序循环（i-- 而不是i++）。我检查了你提出的测试没有区别。但是，对于我执行的另一项测试，我获得了收益...

对于n = 124267948，我现在获得(316, 56179, 7) sum = 56502 而不是(553, 4, 56179) sum = 56736。

这意味着在验证算法之前确实需要进行一些进一步的测试和分析。

**编辑2：** 我在 1 和 1e6 之间对n 进行了系统测试，并比较了两个变体（i++ 和 i--）。它们通常提供相同的结果，在其他地方其中一个或另一个更好。需要进一步调查。

编辑 3： 我做了一个系统的比较，一个最优方案考虑了第一个除法器 (m) 的所有可能值，然后在余数的 sqrt (n/m) 附近寻找一个除法器。我知道这个最优方案通常比其他两个更好。例如n=44。这种最优方案更复杂，但计算时间似乎相当短。

#include    <iostream>
#include    <cmath>

int main() {
int m = 0, n = 0, p = 0, q = 0, i;
bool end = false;
std::cin >> n;
i = int(std::cbrt(n));
//std::cout << "cbrt(n) = " << i << "\n";

if (n == 1) {
    m = p = q = 1;
    end = true;
} else {
    if (i == 1) i = 2;
    if (pow(i, 3) == n) {
         m = i;
         p = i;
         q = i;
         end = true;    
    }
}

if (!end) {

//  1st step: research of a factor almost equal to a cubic root
    i++;
    while (true) {
        if (n % i == 0) {
            n = n / i;
            m = i;
            break;
        }
        i--;
    }

 // 2nd step: research of factor almost equal to the sqrt 
    i = std::sqrt(n) + 1;

    //std::cout << "before square search: n = " << n  << "\ti = " << i << "\n";
    while (!end) {  
        if (n % i == 0) {
            p = i;
            q = n/i;
            end = true;
        }
        i--;
    }
}

    std::cout << m << " " << p << " " << q << std::endl;
    return 0;
}