找出一个数的四个因数，使得它们的乘积最大并且它们的总和是原始数

Question

给定测试用例数 T 和一个整数 N，你需要找到四个整数 A,B,C,D ，它们都是 N(A|N,B|N,C|N, D|N)，N=A+B+C+D。目标是最大化 A * B * C * D。如果无法找到这四个因素，只需返回 -1。

问题的输入格式是：
第一行包含一个整数T(1 接下来的 T 行中的每一行都包含一个整数 N（1

这个问题在递归类别下的 Hackerearth 上，但我无法理解社论中的算法（编辑链接：-https://www.hackerearth.com/practice/basic-programming/recursion/recursion-and-backtracking/practice-problems/algorithm/divide-number-a410603f/editorial/）。

在社论中，它已使用单位分数解决，但我无法理解算法（如果您无法打开上述链接，我在下面提供了社论，我无法理解标有***的点）。蛮力解决方案导致 TLE（超出时间限制）。请提供使用 DFS 或回溯的算法或伪代码。

我的蛮力方法：- 计算 O(sqrt(n)) 中数字“n”的因数并将它们存储在一个数组中，然后使用四个 for 循环遍历数组以获取 A、B、C、D .但是对于 T(1

社论（如果您无法打开以上链接）：-

考虑方程 N = A+B+C+D ，如果我们将方程除以 N ，我们得到 1 = 1/A' + 1/B' + 1/C' + 1/D' ，这里是 A ',B',C',D'都是整数，因为A,B,C,D是N的因数。

所以原来的问题等于把1分成四个单位分数。

我们可以从大到小枚举单位分数。

***如果我们需要将X分成Y个单位分数，而最后一个单位分数是1/Z，我们可以枚举1/Z和X/Y之间的单位分数（因为我们是在枚举剩余的最大分数） ，并递归求解。

*** 找到 1 = 1/A' + 1/B' + 1/C' + 1/D' 的所有解后（如果数字按顺序大约有 20 个解），我们可以在每个解中枚举它们测试用例。如果A',B',C',D'都是N的因数，我们可以用这个解来更新答案。

时间复杂度：O(T)，其中 T 是测试用例的数量。

Answer 1

***如果我们需要将X分成Y个单位分数，而最后一个单位分数是1/Z，我们可以枚举1/Z和X/Y之间的单位分数（因为我们是在枚举剩余的最大分数） ，并递归求解。

答案：我们正在尝试找出 1 = 1/A + 1/B + 1/C + 1/D 的所有组合。最初，我们有 X=1 和 Y=4，我们枚举 A 作为最大因子，它应该不小于 X/Y = 1/4。因为这是第一个元素，所以没有最后一个分数 1/Z。假设我们选择 A=3，那么最后一个分数 1/Z 是 1/A=1/3，X=1-1/3=2/3，Y=3。现在我们从 [X/Y, 1/Z] = [2/9, 1/3] 中选择 1/B。为接下来的步骤做同样的事情。

*** 找到 1 = 1/A' + 1/B' + 1/C' + 1/D' 的所有解后（如果数字按顺序，大约有 20 个解），我们可以在每个解中枚举它们测试用例。如果A',B',C',D'都是N的因数，我们可以用这个解来更新答案。

答案：因为1/A应该不小于1/4，所以A只能是2、3、4。如果A==4，那么A=B=C=D，只有一种解。如果 A==3, [X/Y, 1/Z] = [2/9, 1/3]，那么 B 只能是 3 或 4，如果 B ==4，那么下一轮 C 应该是 4 其中 [ X/Y, 1/Z] = [5/24, 1/4]；如果 B=3，则 C 可能是 4,5,6，因为 [X/Y, 1/Z]=[1/6,1/3]。如果 A==2，[X/Y, 1/Z] = [1/6, 1/2]，则 B 可能是 3,4,5,6。您可以使用代码进行其余计算，感觉我们可以切断许多搜索分支。 （忽略我的枚举顺序，你应该从A=2开始。）

Answer 2

可以通过仅使用 3 个 for 循环并应用二进制搜索来查找第四个数字来提高代码的时间复杂度，因为二进制搜索的时间复杂度是 log(n)。 时间复杂度 = O(n^3*(log(n)) 并根据 问题的限制它应该能够通过所有的测试用例。