这个问题实际上改写了one。 code jam problem 如下：
给定一个完整的无向图，其中包含 N 个节点和 K 个“禁止”边。 N K K“禁止的哈密顿循环数" 边缘。
O(2^N*N^2) 的直接 DP 方法不适用于此类 N。看起来获胜的solutions 是O(2^K)。有人知道如何解决这个问题吗？
【问题讨论】：
标签： algorithm graph hamiltonian-cycle
让我们找出每个禁止边的子集 S，存在多少个哈密顿循环，使用 S 的所有边。如果我们解决了这个子任务，那么我们将通过inclusion-exclusion formula 解决问题。
现在我们如何解决子任务？让我们画出S的所有边。如果存在度数大于2的顶点，那么显然我们不能完成循环，答案是0。否则图被划分为连通分量。每个组件都是一个唯一的顶点、一个环或一条简单的路径。
如果存在一个圈，那么它必须经过所有顶点，否则我们将无法完成哈密顿圈。如果是这种情况，则答案为 2。（循环可以沿 2 个方向遍历。）否则答案为 0。
剩下的情况是当有 c 个路径和 k 个唯一顶点时。为了完成哈密顿循环，我们必须选择每条路径的方向（2^c 路），然后选择组件的顺序。我们有 c+k 组件，因此它们可以以 (c+k)! 方式重新排列。但是我们对循环感兴趣，所以我们不区分通过循环移位相互转换的顺序。 （所以 (1,2,3), (2,3,1) 和 (3,1,2) 是相同的。）这意味着我们必须将答案除以移位次数，c+k 。所以答案（对子任务）是 2^c (c+k-1)!。
这个想法是在 bmerry 的解决方案中实现的（非常干净的代码，顺便说一句）。
【讨论】：
哈密顿循环问题是旅行商问题的一个特例（如果两个城市相邻，则将它们之间的距离设置为有限常数，否则为无穷大。）
这些是 NP 完全问题，简单来说意味着没有已知的快速解决方案。
用于定位哈密顿路径的简单启发式算法是构造路径 abc... 并将其扩展至不再可能；当路径 abc...xyz 因为 z 的所有邻居都已经位于路径中而无法再扩展时，则返回一步，移除边缘 yz 并用 y 的不同邻居扩展路径；如果没有选择会产生哈密顿路径，则后退一步，移除边缘 xy 并用 x 的不同邻居扩展路径，依此类推。这个算法肯定会找到一条哈密顿路径（如果有的话），但它在指数时间内运行。
更多请查看 Cormen 的“Algos 简介”的 NP Complete 问题章节
【讨论】：