哈密​​顿循环的 Palmer 算法

Question

在“密集”图中，我正在尝试使用 Palmer's Algorithm 构建哈密顿循环。但是，我需要对这个算法进行更多解释，因为当我实现它时它对我不起作用。维基百科的解释似乎有一个不清楚的部分。

如果有人解释得更清楚或给我一些阅读链接，我将不胜感激。

这是算法语句：

Palmer (1997) 描述了以下简单算法，用于在满足 Ore 条件的图中构造哈密顿循环。 将顶点任意排列成一个循环，忽略图中的邻接关系。 当循环包含两个在图中不相邻的连续顶点vi 和vi + 1 时，执行以下两个步骤：

• 搜索索引j，使得vi、vi + 1、vj 和vj + 1 四个顶点都是不同的，并且图包含从vi 到@ 的边987654330@ 和从vj 到vi + 1

• 颠倒vi + 1和vj（含）之间的循环部分。

更具体地说，我不明白他们所说的部分： “将顶点任意排列成一个循环” 在这种情况下，是否有权这样做：0,1,2,3,4,0

他们所说的“扭转循环的一部分”是什么意思？

Answer 1

确实，算法 is¹ 的wikipedia's description 是错误的。帕尔默自己的描述是

1. 第 0 步。将顶点排列成一个圆圈。

2. 第 1 步。查看边界，例如逆时针方向，寻找连续的不相邻顶点，即间隙。如果没有间隙，则以边界上的跨越循环退出。否则，从间隙的顶点到可能相邻或不相邻的另一对连续顶点（可能的间隙 2）寻找一对交叉弦。

   如果找到，（即间隙 1 很好！），只需以明显的方式重新排列顶点的圆形顺序，使两个弦成为边界上的边，并将间隙切换到内部。每次我们成功地玩这种纵横交错的游戏时，顶点圆形排列的边界上的一两个间隙都会被两条边代替。否则，对下一个间隙重复第 1 步。

   继续直到跨越循环在边界上，或者直到每个间隙都坏了。

你需要一对交叉和弦，即你需要边

v_i <-> v_j
v_{i+1} <-> v_{j+1}

这样，通过将部分从v_{i+1} 反转为v_j（包括），您可以移动顶点v_j - 在图中与v_i 相邻 - 在您的循环中靠近v_i，并且顶点v_{i+1} - 在图中与v_{j+1} 相邻 - 在循环中移动到v_{j+1} 旁边。因此，我们在图中获得了两个新的循环邻居对，(v_i, v_j) 和 (v_{i+1}, v_{j+1})，并可能破坏 一个 在图中相邻的循环邻居对，@ 987654333@。图中相邻的循环邻居对的数量每一步增加 1 或 2，因此算法终止。

由于维基百科的错误索引，将v_j 移动到v_i 旁边和v_{i+1} 到v_{j+1} 旁边不需要生成一对在图中相邻的新循环邻居，因此算法不需要终止。

那么让我们来看看你的例子

E = { (1,2), (1,3), (1,6), (3,2), (3,4), (5,2), (5,4), (6,4), (6,5) }

最初将其排列为1426351（没有相邻的邻居）。

图中第一对不相邻的循环邻居是(1,4) = (v_1,v_2)。扫描索引j > 2 使得v_j 与v_1 和v_{j+1} 与v_2 相邻，第一个此类事件是j = 3。现在反转循环中的4...2部分（在这种情况下，4和2之间没有顶点），给出下一个循环

1234561  // index in cycle
1246351  // vertex

有两对相邻的邻居（(1,2) 和 (4,6)）。第一个索引i 与v_i 不相邻v_{i+1} 是2。扫描第一个j > 3 使得v_j 与v_2 = 2 相邻并且v_{j+1} 与v_3 = 4 相邻。这给了j = 5。现在v_3和v_5（含）之间的部分，给出下一个循环

1234561  // index in cycle
1236451  // vertex

再一次，v_3 = 3 不与v_4 = 6 相邻，所以i = 3，j = 5，反转收益率

1234561  // index in cycle
1234651  // vertex

现在唯一的坏对是(v_6,v_1) = (5,1)。最小的j > 1 使得v_j 与v_6 = 5 和v_{j+1} 与v_1 = 1 相邻是j = 2。现在将部分从v_1 反转为v_2 产生

1234561  // index in cycle
2134652  // vertex

这是一个哈密顿循环。

¹我会马上修复它。

Answer 2

在这种情况下，是否有权这样做：0,1,2,3,4,0

是的。通过从更仔细选择的初始循环开始，您可能会获得更快的解决方案，但是只要图形满足 Ore 的条件，算法将从任何有效的初始循环开始成功。

他们所说的“扭转循环的一部分”是什么意思？

这意味着从 vi + 1 到 vj 的路径并将其反转，这样如果你开始：

vi, vi + 1, vi + 2, vj - 2, vj - 1, vj, vj + 1

你最终得到：

vi, vj, vj - 1, vj - 2, vi + 2, vi + 1, vj + 1

所以在您的示例中，如果我们选择 i = 0 和 j = 3，最终结果将是：

0, 3, 2, 1, 4, 0

这是Palmer's paper 的链接（请参阅维基百科中的参考部分）。