为什么以下嵌套循环的复杂度为 O(n√n)？答案

【问题标题】：Why is the complexity of the following nested loop O(n√n)?为什么以下嵌套循环的复杂度为 O(n√n)？
【发布时间】：2013-11-17 10:50:20
【问题描述】：

我无法弄清楚以下代码的复杂性。虽然，我知道正确的答案。只是想知道为什么会这样。

void main()
{
    int i, j, n, x;
    for(i=0; i < n; i++)
    {
        for(j=0; j*j <= n; j++)
        {
           x=10;
        }
    }
}

复杂度为 O(n√n)。

【问题讨论】：

如果我们忽略 n 没有初始化为一个值。由于 x 总是变成 10，一个好的编译器会直接删除循环并将 x 设置为 10，因此没有复杂性。
@Johan Emmm.... 没有“没有复杂性”这样的东西。它被称为 O(1)
@Johan 如果使用-O0 执行，即使是好的编译器也不应该这样做：-)
甚至不需要分配x，因为它是一个局部变量。该程序没有明显的副作用。

标签： c for-loop

【解决方案1】：

外部循环执行n 迭代。

内部循环执行sqrt(n) 迭代（因为它将j 平方与n 进行比较）。

循环体花费恒定的时间。

将这三个相乘得到O(n sqrt(n))。

附：一个好的编译器可能会为这个精确的循环生成O(1) 代码。

【讨论】：

你如何在这里总结sqrt(n)？两个循环都从 0 运行到 n 并且 n 未被修改。
@Wolph：终端条件不同（一个使用i，另一个使用j的平方）。

【解决方案2】：

第一个循环可以从 1 转到 n，第二个循环将从 1 转到 sqrt(n) .. 这就是复杂度为 O(n*sqrt(n)) 的原因。

【讨论】：

【解决方案3】：

外部循环是 O(n) - 执行时间与元素数量成正比。

但它有一个内循环，每次外循环迭代执行一次。当执行次数或执行次数的平方等于 n 时，此操作停止。也就是说，外循环的每次迭代都执行√n次。

因此总复杂度为 O(n x √n)，写为 O(n√n)。

【讨论】：

【解决方案4】：

画一张表格，你就会知道为什么。假设n = 10：

  i  |  j  
-----+-----
  0  |  0   0*0 <= 10 ? Yes  |                |
  0  |  1   1*1 <= 10 ? Yes  |                | 
  0  |  2   2*2 <= 10 ? Yes  | → O(√n) Times  |
  0  |  3   3*3 <= 10 ? Yes  |                | 
  0  |  4   4*4 <= 10 ? NO!  |                |
  1  |  0   ...                               | 
  1  |  1                                     | → O(n) Times
  .. | ..                                     |
  .. | ..                                     |
  9  |  0                                     |
  9  |  1                                     |
  9  |  2                                     |
  9  |  3                                     |
  9  |  4                                     |

现在您观察到内部循环执行 O(√n) 次。外循环很简单，它需要 O(n)。将它们相乘得到你得到的结果。

【讨论】：

您从哪里获得4*4 <= 10？那不在我看到的代码中？我错过了编辑吗？
@Wolph 为了示例，我将 n 固定为 10。
@Wolph 我认为这可能有助于 OP 更好地理解流程:)

【解决方案5】：

使用 Sigma 表示法，您可以获得准确的迭代次数加上增长复杂度的顺序（经验验证）：

【讨论】：