为什么像 O(N + N) 这样的时间复杂度等于 O(N)？ [复制]

Question

我通常使用一个名为LeetCode 的网站来练习问题。在一个问题的讨论部分的很多答案中，我注意到像 O(N + N) 或 O(2N) 这样的运行时间变成了 O(N)。例如：

int[] nums = {1, 2, 3, 4, 5};

for(int i = 0; i < nums.length; i ++) {
    System.out.println(nums[i]);
}

for(int i = 0; i < nums.length; i ++) {
    System.out.println(nums[i]);
}

这变成了 O(N)，即使它迭代了 nums 两次。为什么不是 O(2N) 或 O(N + N)？

Answer 1

在时间复杂度中，常数系数不起作用。这是因为算法运行的实际时间还取决于机器的物理限制。这意味着，如果您在一台速度是另一台机器两倍的机器上运行您的代码，在所有其他条件相同的情况下，它会在相同输入的情况下运行大约一半的时间。

但是，当您比较具有不同时间复杂度的两种算法时，情况就不一样了。例如，当您将 O( N ^ 2 ) 算法的运行时间与 O(N) 算法的运行时间进行比较时，O( N ^ 2 ) 的运行时间随着输入大小的增长而增长得如此之快，以至于 O (N) 无论选择多大的常数系数，都追不上它。

假设您的常数系数是 1000，而不仅仅是 2，那么对于 (N > 1000) 的输入大小，O(N ^ 2) 算法的运行时间变为 (N * N) 的比例，而 N 将是与输入大小成正比增长，而 O(N) 算法的运行时间仅与 (1000 * N) 成正比。

Answer 2

O(n+n) 的时间复杂度降低到 O(2n)。现在 2 是一个常数。所以时间复杂度基本上取决于n。
因此O(2n) 的时间复杂度等于 O(n)。
此外，如果有类似O(2n + 3) 的东西，它仍然是O(n)，因为基本上时间将取决于n 的大小。
现在假设有一个代码是O(n^2 + n)，它将是O(n^2)，因为当n 的值增加时，n 的效果将比n^2 的效果更不显着。