了解循环中的 Big(O)

Question

我正在尝试获取以下代码 sn-p 的正确 Big-O：

s = 0
for x in seq:
  for y in seq:
    s += x*y
  for z in seq:
    for w in seq:
      s += x-w

根据我从 (Python Algorithms) 得到这个例子的书，他们是这样解释的：

z 循环运行线性迭代次数，并且 它包含一个线性循环，因此总复杂度是二次的，或 Θ(n²)。 y 环显然是 Θ(n)。 这意味着 x 循环内的代码块是 Θ(n + n²)。这整个块对每个执行 x-loop 循环，运行 n 次。我们使用乘法规则得到 Θ(n(n + n²)) = Θ(n² + n³) = Θ(n³)，即立方。

我不明白的是：O(n(n+n²))怎么会变成O(n^3支持>)。数学正确吗？

Answer 1

这里进行的数学运算如下。当你说 O(n(n + n²)) 时，这相当于通过简单地分配说 O(n² + n³)整个产品中的 n。

O(n² + n³) = O(n³) 的原因来自 big-O 的正式定义符号，如下：

一个函数 f(n) = O(g(n)) 如果存在常数 n₀ 和 c 使得对于任何 n ≥ n₀，|f (n)| ≤ c|g(n)|。

通俗地说，这表示随着 n 变得任意大，f(n) 从上方以 g(n) 的恒定倍数为界。

为了正式证明 n² + n³ 是 O(n³)，考虑任何 n ≥ 1。那么我们有

n² + n³ ≤ n³ + n³ = 2n^3支持>

所以我们有 n² + n³ = O(n³)，其中 n₀ = 1 和 c = 2。因此，我们有

O(n(n + n²)) = O(n² + n³) = O(n ³).

要真正正式地说明这一点，我们需要证明如果 f(n) = O(g(n)) 且 g(n) = O(h(n))，则 f(n) = O (h(n))。让我们来看一个证明。如果 f(n) = O(g(n))，则存在常数 n₀ 和 c，使得对于 n ≥ n₀，|f(n)| ≤ c|g(n)|。类似地，由于 g(n) = O(h(n))，有常数 n'₀, c' 使得对于 n ≥ n'₀，g( n) ≤ c'|h(n)|。所以这意味着对于任何 n ≥ max(c, c')，我们有这个

|f(n)| ≤ c|g(n)| ≤ c|c'h(n)| = c x c' |h(n)|

所以 f(n) = O(h(n))。

更准确地说，在此处描述的算法的情况下，作者说运行时是 Θ(n³)，这比说运行时更强的结果是 O(n³)。 Θ 表示法表示严格的渐近界，这意味着运行时间以与 n³ 相同的速率增长，而不仅仅是它从上面以 n³ 的某个倍数为界。为了证明这一点，您还需要证明 n³ 为 O(n² + n³)。我将把这个作为练习留给读者。 :-)

更一般地说，如果您有 any 阶 k 多项式，则该多项式使用类似的参数为 O(n^k)。要看到这一点，让 P(n) = ∑_i=0^k(a_inⁱ)。然后，对于任何 n ≥ 1，我们有这个

∑_i=0^k(a_inⁱ) ≤ ∑_i=0 ^k(a_in^k) = (∑_i=0^k(a_i))nk

所以 P(n) = O(n^k).

希望这会有所帮助！

Answer 2

n(n+n²) == n² + n³

Big-O 表示法只关心 n 趋于无穷时的主导项，因此整个算法被认为是 Θ(n³)。

Answer 3

O(n(n+n^2)) = O(n^2 + n^3)

由于n^3 术语支配n^2 术语，n^2 术语可以忽略不计，因此它是O(n^3)。

Answer 4

y 循环可以打折因为 z 循环 (O(n) + O(n^2) -> O(n^2)) 忘记算术。 然后你就剩下三个嵌套循环，它们都在'seq'的整个长度上迭代，所以它是 O(n^3)