Big-O 和 Big-Theta：是 for 循环 O(1) 时间复杂度吗？

Question

我很难理解 Big-O 和 Big-Theta 的确切含义。有人可以解释一下这是什么意思吗？

鉴于 n 是一个常数，最坏情况下的 for 循环是否为 O(1) 时间复杂度？

此外，由于 insertSort 的复杂度为 O(n^2)，算法的最坏情况运行时间是否低于 O(n^2)？如果不是，以下算法在最坏情况下的时间复杂度是多少？

void fnA(int[] array)
{
   ArrayList a2 = new ArrayList<Integer>(array.length);

   for (int i=0; i<n; i++) {
      a2.add(array[i]);
      insertionSort(a2);
   }
}

Answer 1

您可以将 Big-O 视为上限。 如果你有一个 for 循环。说

for i:= 1 to 10 print("hello");

那么它的复杂度是 O(1)。 O(1) 并不意味着它在 1 条指令中完成。它只是意味着它在运行时间方面不会随输入大小（即 n）而变化。同样，O(n) 表示其运行时间与输入大小成正比。

对于您的示例，您可以通过以下方式使其变得简单：您有一个复杂度为 O(n) 的外部 for 循环。然后在循环体中，调用 add（即 O(1)）和 insertSort，即 O(n^2)。那么总复杂度是O(n) * (max(O(1), O(n^2)) = O(n^3)。

实际上，这只是估算复杂性的快速方法。对于更准确的方法，您应该做一些数学运算，例如当 a2 的长度为 1、2、3....、n 时，插入排序中需要执行多少条指令。然后总结它们。它会给你一些公式，其中最重要的项是 n^3。