傅立叶变换舍入误差

Question

我在搞乱傅立叶变换。现在我创建了一个实现 DFT 的类（不做任何像 FFT atm 之类的事情）。这是我使用的实现：

public static Complex[] Dft(double[] data)
    {
        int length = data.Length;
        Complex[] result = new Complex[length];

        for (int k = 1; k <= length; k++)
        {
            Complex c = Complex.Zero;
            for (int n = 1; n <= length; n++)
            {
                c += Complex.FromPolarCoordinates(data[n-1], (-2 * Math.PI * n * k) / length);
            }
            result[k-1] =  1 / Math.Sqrt(length) * c;
        }
        return result;
    }

这些是我从Dft({2,3,4})得到的结果

嗯，看起来还不错，因为这些是我所期望的值。只有一件事让我感到困惑。这一切都与双打的四舍五入有关。

首先，为什么前两个数字不完全相同（0,8660..443 8）与（0,8660..443）。为什么它不能计算出你期望的零。我知道 2.8E-15 非常接近于零，但事实并非如此。

任何人都知道这些边际错误是如何发生的，并且如果我可以并且想要对此做些什么。

似乎没有真正的问题，因为它只是小错误。但是，如果您要比较 2 个值，如何处理这些舍入误差。

5,2 + 0i != 5,1961524 + i2.828107*10^-15

干杯

Answer 1

我想您已经对自己进行了解释 - 有限的精度意味着有限的精度。故事结束。

如果你想清理结果，你可以自己做一些四舍五入到更合理的有效数字 - 然后你的零会出现在你想要的地方。

要回答您的评论提出的问题，请不要尝试直接比较浮点数 - 使用范围：

if (Math.Abs(float1 - float2) < 0.001) {
  // they're the same!
}

comp.lang.c FAQ 有很多questions & answers about floating point，您可能有兴趣阅读。

Answer 2

来自http://support.microsoft.com/kb/125056

强调我的。

在许多情况下，浮点计算中的精度、舍入和准确度可以产生令程序员感到惊讶的结果。应该遵循四个一般规则：

1. 在涉及单精度和双精度的计算中，结果通常不会比单精度更准确。如果需要双精度，请确保计算中的所有项（包括常量）都以双精度指定。

2. 永远不要假设简单的数值可以在计算机中准确表示。大多数浮点值不能精确地表示为有限的二进制值。例如 .1 是 .0001100110011... 二进制（它永远重复），因此它不能在使用二进制算术的计算机上完全准确地表示，包括所有 PC。

3. 永远不要假设结果精确到小数点后一位。“真实”答案与任何浮点的有限精度计算结果之间总是存在细微差别处理单元。

4. 永远不要比较两个浮点值来判断它们是否相等。这是规则 3 的推论。数字之间几乎总是存在微小差异“应该”是平等的。相反，请始终检查数字是否几乎相等。换句话说，检查它们之间的差异是否非常小或微不足道。

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请注意，虽然我引用了一个 microsoft 文档，但这不是 windows 问题。这是使用二进制的问题，并且在 CPU 本身中。

另外，我倾向于使用 Decimal 数据类型而不是 double：请参阅这个相关的 SO 问题：decimal vs double! - Which one should I use and when?

Answer 3

在 C# 中，您需要使用“小数”类型，而不是 double 以确保小数点的准确性。

至于“为什么”...在不同的基本系统中表示分数会给出不同的答案。例如，以 10 为基数的系统中的 1/3 是 0.33333 循环，但在以 3 为基数的系统中是 0.1。

双精度值是二进制值，以 2 为底。转换为以 10 为底的十进制时，您可能会遇到这些舍入错误。