如何获得渐近运行时间？

Question

我不知道如何获得确切的渐近复杂度，因为以下问题要求我解决。

这是一个问题：

我从课堂上学到的一切是，如果存在运行 N 次的“for 循环”，或者递归调用 N 次“递归方法”，那么任何一个都是 O(N)。这几乎是我所知道的所有基础知识。

问题 1）关于“N(N+1)/2”的答案是什么，这与“O(N(N+1)/2)”相同吗？

另外，答案是“在迭代 i 时，add 和 trimToSize 都要求将 i 数组元素复制到新数组中。”，我认为它是这样说的，因为它同时调用了“list.add()”和“ list.trimToSize()" N 次。

从我的角度来看，这看起来更像是 O(N)... 因为它使用“list.add()”将第 i 个元素添加 N 次，并且通过“list.trimToSize()”将元素数组复制 N 次”。因此，N + N

问题 2）我只是不知道如何获得答案所说的 N(N+1)/2。

如能回答，万分感谢！

Answer 1

从我的角度来看，这看起来更像是 O(N)... 因为它使用“list.add()”将第 i 个元素添加 N 次，并且通过“list.trimToSize()”将元素数组复制 N 次”。因此，N + N

但是，我的回答是错误的。

是的。是的。

您将每次调用trimToSize 处理为具有恒定成本。这是不正确的。如果你看看trimToSize 做了什么，你会发现每次调用 都将所有元素（到目前为止）复制到一个新数组中。这不是固定成本

• 在第一次调用 trimToSize 时，数组长度为 1，因此您复制了 1 个元素。
• 在第二次调用 trimToSize 时，数组长度为 2，因此您复制了 2 个元素。
• ...
• 在对trimToSize 的第 N 次调用中，数组长度为 N，因此您复制了 N 个元素。

将所有这些加起来，所有trimToSize 调用都会得到N(N+1)/2。

（事实上，鉴于代码使用ArrayList 的方式，每次调用add 时，都需要重新分配列表的后备数组。所以同样的计算也适用于那里。）

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^{请注意，O(N(N+1)/2) 与 O(N^2) 的复杂度等级相同。你可以从第一原理证明这一点。）}