距起始顶点一段距离内的顶点数答案

【问题标题】：Number of Vertices Within a Distance from Start Vertex距起始顶点一段距离内的顶点数
【发布时间】：2016-03-06 23:25:53
【问题描述】：

我正在为一位法官处理一个问题，该问题询问有关查找距它一定距离内的顶点数。必须对图上的所有顶点执行此操作。完整的问题规范可以看 here.我有一些Python代码解决程序，但是太慢了。

import sys, collections
raw_input = sys.stdin.readline
n, m, k = map(int, raw_input().split())
dict1 = collections.defaultdict(set)
ans = {i:[set([i])for j in xrange(k)]for i in xrange(1, n+1)}

for i in xrange(m):
    x, y = map(int, raw_input().split())
    dict1[x].add(y)
    dict1[y].add(x)

for point in dict1:
    ans[point][0].update(dict1[point])

for i in xrange(1, k):
    for point in dict1:
        for neighbour in dict1[point]:
            ans[point][i].update(ans[neighbour][i-1])

for i in xrange(1, n+1):
    print len(ans[i][-1])

我的代码所做的是最初创建一组点，这些点是每个顶点的直接相邻点（距离为 0 到 1）。之后，它从所有先前找到的邻居的邻居（距离为 2）中为每个顶点创建一组新的邻居。然后它继续这样做，创建一组新的邻居并增加距离，直到达到最终距离。有没有更好的方法来解决这个问题？

【问题讨论】：

标签： python algorithm graph-theory

【解决方案1】：

有很多好的和快速的解决方案。

其中之一（不是最快，但足够快）是使用 BFS 算法直到距离 K。只需对所有顶点运行 bfs，它不会在距离超过 K 时将邻居添加到队列中。 K 是运动规范中的参数。

【讨论】：

【解决方案2】：

我会使用adjacency matrix 乘法。邻接矩阵是一个布尔方阵n * n，其中n 是顶点数。如果存在从i 到j 的边，则adjacency_matrix[i][j] 的值等于1，否则等于0。如果我们将邻接矩阵自身相乘，我们得到长度为 2 的路径。如果我们再次这样做，我们得到长度为 3 的路径，依此类推。在你的情况下，K <= 5 所以不会有太多的乘法。您可以为此使用 numpy ，它会非常快。因此，在伪代码中，您的问题的解决方案如下所示：

adjacency_matrix = build_adjacency_matrix_from_input()
initial_adjacency_matrix = adjacency_matrix
result_matrix = adjacency_matrix
for i = 2 to K:
    adjacency_matrix = adjacency_matrix * initial_adjacency_matrix
    result_matrix = result_matrix + adjacency_matrix
for each row of result_matrix print how many values higher then 0 are in it

【讨论】：

邻接矩阵相乘后的值会大于1吗？如果是这样，这些值会发生什么？
在第一个示例中，一些值在相乘后是 2 或 3。这些是答案的一部分吗？
哦，你是对的，对不起。显然，这些是不同路径的数量。在你的情况下，这并不重要，你只需要检查是否有高于零的数字。抱歉我的错误，我将编辑我的答案。
你知道如何快速求矩阵吗？
使用numpy.dot。这可能是最好的方法。

【解决方案3】：

你想要长度

如果使用 BFS：这相当于从给定的源顶点开始逐级遍历。下面是一个伪代码，可以计算与给定源顶点距离为 K 的所有顶点：

Start: Let s be your source vertex and K represent max path length required

Create two Queues Q1 and Q2 and insert source vertex s into Q1
Let queueTobeEmptied = Q1 // represents the queue that is to be emptied
Let queueTobeFilled = Q2  // represents the queue that is used for inserting new elements discovered
Let Result be a vector of vertices: initialize it to be empty
Note: source vertex s is at level 0, push it to Result vector if that is also required

for(current_level=1; current_level<=K; current_level++) {
    while(queueTobeEmptied is not empty) {
        remove the vertex from queueTobeEmptied and call it as u
        for_each adjacent vertex 'v' of u {
            if v is not already visited {
                mark v as visited
                insert v into the queueTobeFilled     
                push v to Result                       
            }
        }
    }
    swap the queues now for next iteration of for loop: swap(queueTobeEmptied, queueTobeFilled)
}

Empty Q1 and Q2

End: Result is the vector that contains all the vertices of length <= K

【讨论】：