距离 K 的顶点答案

【问题标题】：Vertices that are K away距离 K 的顶点
【发布时间】：2012-10-31 11:28:54
【问题描述】：

给定一个图 G(V,E) 和一个顶点 v，我如何找到可以通过简单路径到达的所有顶点（路径上没有顶点重复）的长度正好 k。

邻接矩阵的幂给出了顶点之间的路径数，但它包括非简单路径。

这个问题可以在多项式时间内解决吗？如果没有，是否有任何已知的近似算法。任何指向文学的指针都会很棒。

【问题讨论】：

这是一个有趣的问题，我认为属于cstheory.stackexchange.com。
是否可以在不同的堆栈站点之间移动问题？我可能没有足够的声誉来做这件事。
有人可以做到，但据我所知，我也没有足够的声誉来做到这一点。 :-/
假设您有一个由 v、A 和 B 组成的三角形。当 k=2 时，A 和 B 都是您要找的吗？
@JameySharp，不，它没有，请在提出迁移建议之前阅读网站的常见问题解答。这个问题不应该迁移到 cstheory，而应该迁移到Computer Science。

标签： algorithm graph-algorithm

【解决方案1】：

下面介绍的算法将找到与起始节点v 的最小距离等于k 的节点列表。 EG：给定一个三角形图 v、A 和 B 如果：

k 为 0，则结果为 v
k 为 1，则结果包含 A 和 B
k 为 2 或更多，则结果为 empty

伪代码：

FindNodesWithShortestPath_K(G, v, k):
    create empty list R
    create empty queue Q

    mark v as visited
    set v.distance to 0
    add v to Q

    while Q is not empty:
        t <- dequeue node from Q
        if t.distance == k:
            add t to R
        else if t.distance > k:
            break
        else                
            for all neighbors u of t:
                if u is not marked as visited:
                    mark u as visited
                    u.distance = t.distance + 1
                    enqueue u onto Q

    return result

注意：

检查节点是否标记为已访问可确保路径简单
节点的初始距离不相关
如果 t.distance == k，则 t 属于 R 并且 t 邻居（不在 Q 中）不属于
如果 t.distance > k，那么即使 Q 不为空，算法也会停止。给定算法实现，Q中节点的距离不递减
R 和 Q 上的操作可以在 O(1) 中运行，具体取决于实现。该算法的最坏情况是 O(|E| + |V|)

【讨论】：

这是一个从顶点 v 开始的 bfs。
差不多，终止条件当然不同。这能解决你的问题吗？我是否正确解释了您的问题？
不，它没有。我想要通过简单路径在“精确”k 步中可到达的顶点。

【解决方案2】：

我只回答第一个问题：“它可以在多项式时间内求解吗？”。

假设它在多项式时间内是可解的。然后为k=|V|-1 解决它并选择任何结果顶点。删除此顶点并为k=|V|-2 解决此问题。生成的一组顶点应包含至少一个连接到最后一个删除顶点的顶点。删除此顶点并继续处理k=|V|-i，直到保留单个起始顶点。您刚刚为使用多项式时间算法的原始图找到了 Hamiltonian path。

由于哈密顿路径问题是NP完全的，OP中的问题也不太可能在多项式时间内解决。

【讨论】：