【发布时间】：2013-03-06 18:13:19
【问题描述】：
假设我有一个Bezier curve B(u)，如果我以恒定速率增加u 参数，我不会获得沿曲线的恒定速度运动，因为u 参数和点之间的关系得到的评价曲线不是线性的。
我已经阅读并实现了 David Eberly 的 article。它解释了如何沿着参数曲线以恒定速度移动。
假设我有一个函数F(t)，它以时间值t 作为输入，还有一个速度函数sigma，它返回时间t 的速度值，我可以获得沿曲线的等速运动，以恒定速率改变 t 参数：B(F(t))
我正在使用的文章的核心是以下函数：
float umin, umax; // The curve parameter interval [umin,umax].
Point Y (float u); // The position Y(u), umin <= u <= umax.
Point DY (float u); // The derivative dY(u)/du, umin <= u <= umax.
float LengthDY (float u) { return Length(DY(u)); }
float ArcLength (float t) { return Integral(umin,u,LengthDY()); }
float L = ArcLength(umax); // The total length of the curve.
float tmin, tmax; // The user-specified time interval [tmin,tmax]
float Sigma (float t); // The user-specified speed at time t.
float GetU (float t) // tmin <= t <= tmax
{
float h = (t - tmin)/n; // step size, `n' is application-specified
float u = umin; // initial condition
t = tmin; // initial condition
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
// The divisions here might be a problem if the divisors are
// nearly zero.
float k1 = h*Sigma(t)/LengthDY(u);
float k2 = h*Sigma(t + h/2)/LengthDY(u + k1/2);
float k3 = h*Sigma(t + h/2)/LengthDY(u + k2/2);
float k4 = h*Sigma(t + h)/LengthDY(u + k3);
t += h;
u += (k1 + 2*(k2 + k3) + k4)/6;
}
return u;
}
它允许我使用提供的时间 t 和 sigma 函数计算出曲线参数 u。
现在，当速度 sigma 为常数时，该函数可以正常工作。如果 sigma 代表一个统一的加速度，我会从中得到错误的值。
这是一个直线贝塞尔曲线的示例，其中 P0 和 P1 是控制点，T0 T1 是切线。曲线已定义：
[x,y,z]= B(u) =(1–u)3P0 + 3(1–u)2uT0 + 3(1–u)u2T1 + u3P2
假设我想知道在时间t = 3 沿曲线的位置。
如果我是一个恒定的速度：
float sigma(float t)
{
return 1f;
}
以及以下数据：
V0 = 1;
V1 = 1;
t0 = 0;
L = 10;
我可以分析计算位置：
px = v0 * t = 1 * 3 = 3
如果我使用我的 Bezier 样条曲线和上面的算法用 n =5 求解相同的方程，我会得到：
px = 3.002595;
考虑到数值近似，该值非常精确（我对此进行了很多测试。我省略了细节，但贝塞尔曲线实现很好，曲线本身的长度使用Gaussian Quadrature 计算得非常精确）。
现在，如果我尝试将 sigma 定义为匀加速函数，我会得到不好的结果。 考虑以下数据：
V0 = 1;
V1 = 2;
t0 = 0;
L = 10;
我可以使用线性运动方程计算粒子到达 P1 的时间：
L = 0.5 * (V0 + V1) * t1 =>
t1 = 2 * L / (V1 + V0) = 2 * 10 / 3 = 6.6666666
有t我可以计算加速度：
a = (V1 - V0) / (t1 - t0) = (2 - 1) / 6.6666666 = 0.15
我有所有数据来定义我的 sigma 函数：
float sigma (float t)
{
float speed = V0 + a * t;
}
如果我通过分析解决这个问题，我希望在时间 t =3 之后粒子的以下速度：
Vx = V0 + a * t = 1 + 0.15 * 3 = 1.45
位置将是：
px = 0.5 * (V0 + Vx) * t = 0.5 * (1 + 1.45) * 3 = 3.675
但如果我用上面的算法计算，位置结果：
px = 4.358587
这与我的预期完全不同。
对不起，这篇文章太长了，如果有人有足够的耐心阅读它，我会很高兴。
你有什么建议吗？我错过了什么？谁能告诉我我做错了什么？
编辑： 我正在尝试使用 3D 贝塞尔曲线。这样定义：
public Vector3 Bezier(float t)
{
float a = 1f - t;
float a_2 = a * a;
float a_3 = a_2 *a;
float t_2 = t * t;
Vector3 point = (P0 * a_3) + (3f * a_2 * t * T0) + (3f * a * t_2 * T1) + t_2 * t * P1 ;
return point;
}
及其衍生物：
public Vector3 Derivative(float t)
{
float a = 1f - t;
float a_2 = a * a;
float t_2 = t * t;
float t6 = 6f*t;
Vector3 der = -3f * a_2 * P0 + 3f * a_2 * T0 - t6 * a * T0 - 3f* t_2 * T1 + t6 * a * T1 + 3f * t_2 * P1;
return der;
}
【问题讨论】：
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对于 t=6.6666...，该算法为您提供了什么？是值 10，即 L，还是另一个？
标签： 3d numerical-methods bezier runge-kutta