在与其他 2 个点等距的线上找到点

Question

我知道我可能应该在 math.stackexchange 中问这个问题，但答案大多是“笔纸”类型。我需要一种有效的方法来实施，这就是我在这里问的原因。

Q：给定 2 个点 A 和 B 以及一条线 L。点和线是 3D 的。如何在给定的直线 L 上找到与给定点 A 和 B 等距的点？

我遵循的方法是：

• 找到垂直于线 AB 并通过 A 和 B 中心的平面 P。

• P 和 L 的交点就是答案。

我正在处理大型数据集（3d 图像），并且进行上述计算涉及大量数字。乘法和除法（总计）。

那么有没有更好的方法呢。

一个有效的代码会很有帮助。

提前致谢。

Answer 1

如果线L用参数向量方程来描述

P=C+t*D  

（其中C是某个基点，D是方向向量，t是参数）
然后点 P 与给定点 A 和 B 等距，当从 P 到 A-B 段中间的向量垂直于 AB 向量时。所以这些向量的标量积为零。

(B-A)*(C+t*D-(A+B)/2)=0

让我们

F=B-A
G=C-(A+B)/2

那么（坐标形式）

Fx*(Gx+t*Dx)+Fy*(Gy+t*Dy)+Fz*(Gz+t*Dz)=0
t*(Dx*Fx+Fy*Dy+Fz*Dz)=-(Fx*Gx+Fy*Gy+Fz*Gz)
t=-(Fx*Gx+Fy*Gy+Fz*Gz)/(Dx*Fx+Fy*Dy+Fz*Dz)

(Dx*Fx+Fy*Dy+Fz*Dz)=0 的情况对应于垂直线 AB 和 L。在这种情况下，当 nominator (Fx*Gx+Fy*Gy+Fz*Gz) 不为零时，没有解，如果 nominator 为零（线上的所有点等距）

Answer 2

TL;DR.解决方案在底部。

好的，假设这些是我们的参数：

x₀ 和 x₁ , 描述这条线。

a和b，这两点。

在哪里

x₀ = [x₀, y₀, z_0]

x₁ = [x₁, y₁, z_1]

a = [x_a, y_a, z_a]

b = [x_b, y_b, z_b]

δ = [δ_x, δ_y, δ_z] = (x₁ - x₀)

那么我们对线的描述可以看成是一个参数函数：

l(λ) = x₀ + λ*(x₁ - >x₀)

所以我们试图找到满足以下等式的 λ 值：

(l(λ) - a)² = (l(λ) - b)²

（这里我有点用符号作弊，所以 x² = x.x强>)

所以扩展我们得到的一切：

(λx₁ + (1 - λ)x₀ - x_a)² +

(λy₁ + (1 - λ)y₀ - y_a)² +

(λz₁ + (1 - λ)z₀ - z_a)² =

(λx₁ + (1 - λ)x₀ - x_b)² +

(λy₁ + (1 - λ)y₀ - y_b)² +

(λz₁ + (1 - λ)z₀ - z_b)²

化简，我们得到：

(λδ_x + x₀ - x_a)² +

(λδ_y + y₀ - y_a)² +

(λδ_z + z₀ - z_a)² =

(λδ_x + x₀ - x_b)² +

(λδ_y + y₀ - y_b)² +

(λδ_z + z₀ - z_b)²

展开括号并取消，我们得到：

-2δ_xx_aλ + (x₀ - x_a)² +

-2δ_yy_aλ + (y₀ - y_a)² +

-2δ_zz_aλ + (z₀ - z_a)² =

-2δ_xx_bλ + (x₀ - x_b)² +

-2δ_yy_bλ + (y₀ - y_b)² +

-2δ_zz_bλ + (z₀ - z_b)²

我们可以进一步简化成一些漂亮的向量操作：

2λδ.(x_b - x_a ) = (x₀ - x_b)² - (x₀ - x_a)²

这很容易重新排列以获得具有唯一解的 λ 线性方程。

Answer 3

您可以求解方程组来得到答案。 3D 中的线条类似于：

x = x<sub>0</sub> + t * v<sub>x</sub>
y = y<sub>0</sub> + t * v<sub>y</sub>
z = z<sub>0</sub> + t * v<sub>z</sub>

让我们指出我们正在搜索P 的点。现在我们有：

(P_x - A_x)² + (P_y - A_{y)² +(Pz - Az)² = (Px - Bx)² + (Py - By)² + (Pz - Bz )²}

请注意，虽然所有这些方程似乎都是二次方程，但 P_x 的平方我们被划伤了，因为它出现在方程的两边。现在使用这个方程组和上面的方程组来找到三个变量 P_x、P_y 和 P_z。