我有一组 (X) 点（不是很大，比如说 1-20 点）和第二组 (Y)，更大的一组点。我需要从 Y 中选择某个点，该点到 X 的 所有 点的距离总和最小。
我想出了一个想法，我将 X 视为一个多边形的顶点并找到这个多边形的质心，然后我会从 Y 中选择一个离质心最近的点。但我不确定质心是否会最小化其到多边形顶点的距离之和，所以我不确定这是否是一个好方法？有解决这个问题的算法吗？
点由地理坐标定义。
【问题讨论】：
标签： algorithm optimization geometry gis
请原谅我建议蛮力。 提出问题的方式我们不知道 X,Y 在哪里。 假设 X 是 30 点，Y 是 1000 点。 然后对于 Y 的每个点总和 30 距离。 总共 30000 次计算，瞬间完成。 这保证了最低限度。 找到 X 的某个“中心”并选择最接近的 Y 只是一个近似解。
更有趣的问题是单独为 X 找到这样一个点。忽略 Y。 仅对于 X 三个点，Fermat-Torichelli 点解决了这个问题。
【讨论】：
多边形的质心可能不对，但这样的点是存在的。
在论文中：n-ellipses and the minimum distance problem，表明如果点（称为焦点，你的 X 集合）不共线，那么
有一个独特的点（称为中心），其距离之和最小。这一点使得从该点到焦点的单位向量之和为零！
距离总和为常数的点的轨迹是包含中心的凸曲线（称为 n 椭圆）
距离 D 的 n 椭圆完全包含 D'
因此，您可以执行某种类型的爬山算法来找到中心。
当然，这些 n 椭圆不一定是圆，因此仅选择最接近中心的点可能不起作用，但可能是一个很好的近似值。
您也许可以对这 20 个点（如果这些点是固定的）进行一些预处理，以找出一个好的分区方案（基于上述信息）。
希望对您有所帮助。
【讨论】：
因为您想要最小的距离总和，我相信您可以将点 X 的集合减少到其空间平均值。然后，您可以使用 KDTree 或某种空间分区树来找到 Y 中最接近 X 的空间均值的点。与检查所有可能的点相比，使用空间分区树可以节省大量工作。
【讨论】：
如果您想最小化距离的平方和（而不是距离的总和），那么最小化该和的点就是 X 中点的平均值。
证明：
sum(squares of distances) = (x-x0)^2 + (y-y0)^2 + (x-x1)^2 + (y-y1)^2 + ...
d/dx sum(squares of distances) = 2(x-x0) + 2(x-x1) + ... = 2(Nx - x0 - x1 - ...)
当导数为零时，总和最小化，这发生在Nx = x0+x1+...，所以x = (x0+x1+...)/N
导数围绕这个点是对称的，函数是二次的，所以我很确定 Y 中离这个平均点最近的点是最好的。
最小化距离更难，但我怀疑同样的算法，在你测试的 Y 集合中有更多的余地，也可以工作。
【讨论】：