如何在Java中找到距其他给定点最远的点

Question

我有一个给定的 S 点（图表上的红色）和 n 个其他点（图表上的黑色）。我想找到一个点 P，距离 S 为 1，距离所有黑点最远（在这种情况下 - S 之间的距离总和strong>P，每个点都应该是最高的）。

由于 P 与 S 相差 1，我们可以看出 y = √(1 - x^2)。

我个人使用的分析方法是：

1. 计算距离的总和
   • Q - P = √((Qx - Sx - x)^2 + (Qy - Sy - √(1 - x^2))^2)（重复所有n个点并总结），
2. 计算得到的表达式的导数，
3. 计算导数的根并找到最大值（在域中），
4. 计算域中区间末端的值，
5. 选择正确的 X。

在 Java 中最有效的方法是什么？可以使用哪些库？我听说图书馆允许进行这种分析，但听起来很复杂而且速度很慢，所以我一直在寻找任何数字想法，但找不到。

Answer 1

以小增量跟随圆圈的路径。计算沿圆的每个点的距离总和。找到距离总和最大的位置。完毕。 java.lang.Math 就足够了。不需要额外的库。查找三角函数。

SP 段的角度为 phi。你从 0 到 2*pi （记住它使用弧度）。在循环中使用一个小数增加 phi。

类似：

• phi=0.0;
• maxSumDistance = 0.0；
• phiAtMaxValue = 0.0;
• 做一个循环：phi 从 0.0 变为 2*pi，每次向 phi 添加一个小数
• 在循环内部：if (currentSumDistance > maxSumDistance) then maxSumDistance = currentSumDistance;和 phiAtMaxValue = phi 的当前值（循环变量）；

在循环结束时，您将获得距离总和最大的 phi 角值。然后你从 phi 重新计算 P 的坐标，以及 SP 的距离。

这可能是一种蛮力方法，但为此计算导数似乎有点过头了，而且太复杂了。

Answer 2

首先，对于这个问题，在最坏的情况下，O(N^2) 似乎并没有那么糟糕。因为每次调用成本函数都会花费 O(N)。考虑这种情况：N 个黑点位于另一个圆（R > 1，S 中的中心）上，并将这个新圆分成 N 个相等的弧。在这种对称情况下，我们有 N 个最大值。只是为了检查它们，它需要 O(N^2)——计算每个点的成本函数。所以我认为任何检查所有局部极值的算法在最坏的情况下至少有 O(N^2)。

这是我针对一般情况的解决方案草图：

• 如果 {Q_j} 是黑点，让我们定义 {O_j}，这样每个 O_j 都是离 Q_j 最近的点，Q_j 位于 S 周围的红色圆圈上。点 {O_j} 将圆圈分成 n 个弧.我们可以很容易地计算出每个 O_j 坐标。

• 似乎我们试图优化的成本函数在每条弧内只有一个局部极值（这部分需要更准确的证明），所以我们可以通过三元搜索找到这些极值——线性复杂度。我们还需要检查 O_j 的局部极值——线性复杂度。

• 总的来说，我们必须检查 O(NlogN) 个点，每次检查花费 O(N)。至少这种方法比用小epsilon检查圆上的每个点更方便。

Answer 3

编辑：下面的算法不像 cmets 中解释的那样工作。我会留在这里作为参考。

这可能有点幼稚，但是怎么样：

• 求所有黑点的平均值。这可以很简单 sum(x-coord)/n 和 sum(y-coord)/n。这个“平均”点很可能 不要在圈子上。我们称这个点为“A”
• 从这里画一条线 朝向 S 的平均点 = |AS|
• 继续沿着这条线 角度，直到你到达 S 另一边的圆圈。让我们打电话 此点 O（相反）。您现在有了|ASO| 行。
• O 可以计算，因为你知道圆的半径是 1，根据定义，这个点是红圈上离平均点 A 最远的点，从这里它不会跟随圆上的其他点是 远离所有黑点。

极端情况：如果所有黑点都围绕原点对称（例如，一个点在 -2,-2，一个点在 2,2；那么上面的解决方案将没有答案，因为 A（平均点）将等于 S（原点 0,0）。您可以额外检查 A 是否等于 S，然后抛出异常。