使用对数避免数值下溢的算术问题答案

【问题标题】：problem with arithmetic using logarthms to avoid numerical underflow使用对数避免数值下溢的算术问题
【发布时间】：2010-02-18 10:17:52
【问题描述】：

我有两个分数列表；

说A = [ 1/212, 5/212, 3/212, ... ]

和B = [ 4/143, 7/143, 2/143, ... ]。

如果我们定义A' = a[0] * a[1] * a[2] * ... 和B' = b[0] * b[1] * b[2] * ...

我要计算A' / B'的值，

我的问题是 A 和 B 都很长，每个值都很小，所以计算乘积会很快导致数值下溢......

我知道通过对数将乘积转化为和可以帮助我确定 A' 或 B' 中哪个更大

即max( log(a[0])+log(a[1])+..., log(b[0])+log(b[1])+... )

但我需要实际比例....

迄今为止，我最好的选择是将数字表示形式保留为分数，即A = [ [1,212], [5,212], [3,212], ... ] 并实现我自己的算术，但它变得笨拙，我觉得我只是缺少一种（简单的）对数方式。 ...

A 和 B 的分子不是来自序列。出于这个问题的目的，它们也可能是随机的。如果它有助于 A 中所有值的分母相同，那么 B 中的所有分母也相同。

欢迎提出任何想法！

垫子

【问题讨论】：

【解决方案1】：

你可以用稍微不同的顺序来计算它：

A' / B' = a[0] / b[0] * a[1] / b[1] * a[2] / b[2] * ...

【讨论】：

【解决方案2】：

如果要保持对数形式，请记住 A/B 对应于 log A - log B，因此在将 A 和 B 的对数相加后，您可以找到较大与较小的比率用 max(logsumA, logsumB)-min(logsumA,logsumB) 对日志基数求幂。

【讨论】：

【解决方案3】：

去掉分子和分母，因为它们在整个序列中是相同的。逐个元素计算分子的比率（就像@Mark 建议的那样），最后将结果乘以 B 分母/A 分母的右幂。

或者，如果在计算分子或分母幂的乘积时会出现整数溢出，则类似于：

A'/B' = (numerator(A[0])/numerator(b[0]))*(denominator(B)/denominator(A) * ...

我可能把一些分数颠倒了，但我想你能弄清楚吗？

【讨论】：