使用对数避免数值下溢的算术问题（取 2）

Question

我有两个分数列表；

说A = [ 1/212, 5/212, 3/212, ... ]

和B = [ 4/143, 7/143, 2/143, ... ]。

如果我们定义A' = a[0] * a[1] * a[2] * ... 和B' = b[0] * b[1] * b[2] * ...

我想计算 A' 和 B' 的归一化值

即特别是A' / (A'+B')和B' / (A'+B')的值

我的问题是 A 和 B 都很长，每个值都很小，所以计算乘积会很快导致数值下溢......

我知道通过对数将乘积转化为和可以帮助我确定 A' 或 B' 中哪个更大

即max( log(a[0])+log(a[1])+..., log(b[0])+log(b[1])+... )

使用日志我可以计算出A' / B' 的值，但我该怎么做A' / A'+B'

迄今为止，我最好的选择是将数字表示保留为分数，即A = [ [1,212], [5,212], [3,212], ... ] 并实现我自己的算术，但它变得笨拙，我觉得我只是缺少一种（简单的）对数方式。 ...

A 和 B 的分子不是来自序列。出于这个问题的目的，它们也可能是随机的。如果它有助于 A 中所有值的分母相同，那么 B 中的所有分母也相同。

欢迎提出任何想法！

( ps。我在 24 小时前询问了 similar question 关于比率 A'/B' 的问题，但实际上是 错误 的问题。我实际上是在 A'/(A'+B') 之后。对不起，我的错误。）

Answer 1

我在这里看到了几种方法

首先你会注意到

A' / (A'+B') = 1 / (1 + B'/A')

你知道如何用对数计算B'/A'。

另一种方法是实现你自己的有理算术，但你不需要走得太远。由于您知道整个数组的分母相同，因此它会立即为您提供

numerator(A') = numerator(a[0]) * numerator(a[1]) ...
denumerator(A') = denumerator(a[0]) ^ A.length

您现在需要做的就是将 A' 和 B' 相加，这很容易，然后将 A' 和 1/(A'+B') 相乘，这也很容易。这里最难的部分是标准化结果值，这是通过模运算完成的，而且很简单。

另外，由于您很可能使用一些流行的脚本语言，它们中的大多数都内置了有理算术类，Python 和 Ruby 肯定有。

Answer 2

迄今为止我最好的选择是将数字表示形式保留为分数并实现我自己的算术，但它变得笨拙

您使用什么语言？如果您可以重载运算符，则应该很容易组成一个 Fraction 类，您几乎可以在任何地方将其视为一个数字。

例如，判断一个分数A / B是否大于C / D基本上是比较A * D是否大于B * C。

Answer 3

A 和 B 在您提到的每个分数中都有相同的分母。列表中的每个术语都是这样吗？如果是这样，为什么在计算产品时不将其考虑在内？当 X 是值，n 是列表中的项数时，分母就是 X^n。

如果你这样做，你会遇到相反的问题：分子溢出。您知道它不能小于 max(X)^n，其中 max(X) 是分子中的最大值，n 是列表中的项数。如果你能计算出来，你可以看看你的电脑是否会出现问题。你不能把 10 磅的东西放在一个 5 磅的袋子里。

不幸的是，对数的性质将您限制为以下简化：

_{（来源：equationsheet.com）}

和

_{（来源：equationsheet.com）}

所以你被困住了：

_{（来源：equationsheet.com）}

如果您使用的语言支持无限精度数字（例如 Java BigDecimal），它可能会让您的生活更轻松一些。但是在计算之前进行一些思考仍然是一个很好的论据。既然可以优雅，为什么还要使用蛮力？

Answer 4

嗯...如果您知道A'(A'+B')，那么B'(A'+B') 应该是减去那个。我个人不会使用对数。我会使用实际的分数。我还会使用某种 BigInt 类来表示分子和分母。您使用哪种语言？ Python 很适合。