避免算术溢出答案

【问题标题】：Avoiding arithmetic overflow避免算术溢出
【发布时间】：2012-02-26 17:24:38
【问题描述】：

假设您有两个大于2^32（且小于2^63）的正long 值a 和b，以及一个长整数c。在java和\或c中，执行诸如

之类的操作的最佳方式是什么

(a*b)%c

同时避免算术溢出。

编辑： c 在2^34 附近，有时a 和b 都在2^32 和c 之间...

对于我所处的具体情况，我终于避免使用BigInteger。事实上，有可能知道a 和b 的一个除数（并非总是如此），所以我会使用算术属性modulo 对我有利。

【问题讨论】：

假设 long 是 64 位类型 ...
gcc 4.6 提供类型 __int128 作为扩展：Support for a new data type __int128 for targets having wide enough machine-mode support.。
如果 c 正好是 2^34 或 2 的任何幂，无论是否溢出，结果都是一样的。

标签： java c math precision

【解决方案1】：

假设一切都是正数，那么您可以使用以下数学恒等式：

(a*b)%c == ((a%c) * (b%c)) % c

当然，这仍然不能消除溢出的可能性。

完全避免该问题的最简单方法是使用大整数库。

【讨论】：

是的，这就是我所拥有的。 c 在 2^34 左右，有时 a 和 b 都在 2^32 和 c 之间...
值得指出的是，如果c <= sqrt(LONG_MAX)，右侧是安全的。

【解决方案2】：

您可以比@Oli Charlesworth 在他的（好）答案中建议的更进一步。您可以分解因子a 和b（并非所有主要因子都需要，部分分解可能就足够了）并在乘法的任何中间结果中执行模数。虽然这可能比使用 bignum 更昂贵，因为它涉及很多部门，而且成本很高。

【讨论】：

谢谢。其实我就是这么做的。通常这种分解代价高昂，但我意识到在我的情况下它不是（由于首先生成数字的方式）。

【解决方案3】：

在 Java 中我会使用 BigInteger:

BigInteger bd = BigInteger.valueOf(2).pow(33);
System.out.println(bd.multiply(bd).remainder(BigInteger.valueOf(2).pow(34).add(BigInteger.valueOf(1))));

【讨论】：

...BigDecimal，而不是BigInteger?

【解决方案4】：

据我所知，如果没有更高精度的算术，就无法解决您的问题，至少 LLVM 的优化器同意。

如果 128 位数学在本机上不可用，则需要使用通用大整数库，或者从不太通用的实现中获取所需的位，例如 GnuCash 中的 Math128。

【讨论】：