我遇到了一个问题，我必须为函数 f(n) = n^5 + 2^log(n) 选择正确的 Big O... 我尝试输入较大的值，发现 n^5 与 2^log(n) 相比显着增长......但后来有人告诉我，指数函数与其他函数相比增长显着......我再次感到困惑。 .. 老实说我认为 2^log(n) 不是指数函数...但是由于我的对数概念较弱，我无法证明...
我只想有人告诉我，是的，n^5 大于 2^log(n)，这样我就可以证明 2^log(n) 不是指数函数...
提前致谢。 :)
【问题讨论】：
2^log(n) = (2/e)^log(n) * e^log(n) = a^log(n) * n 其中a = 2/e < 1（假设log 是自然对数）。
随之而来的是f(n) = n^5 + 2^log(n) < n^5 + n，因此是f(n) = O(n^5)。
[ EDIT ] 在任意基数 b 的对数的一般情况下，使用 2 = b^log_b(2) 可以得出以下结论：
2^log_b(n) = (b^log_b(2))^(log_b(n))
= b^(log_b(2)*log_b(n))
= (b^log_b(n))^log_b(2)
= n^log_b(2)
= n^(1/log_2(b))
因此f(n) = n^5 + log_b(n) = O( n^5 + n^(1/log_2(b)) ) = O( n^max(5, 1/log_2(b)) )。
尤其是f(n) = O(n^5) 代表log_2(b) > 1/5 ⇔ b > 2^(1/5)，它涵盖了2、e、10 的常见log 基础。
【讨论】：
10^log10(n) 是 n，但 10^log2(n) 大约是 n^3.3。其中第一个是O(n)；第二个不是。在这个特定示例中，无论基数是 2、10 还是 e，我们碰巧得到相同的答案，但通常基数并非无关紧要。
a^log_b(n) 形式的指数相关（尽管 2 和 e 恰好在此产生相同的最终答案具体例子）。至于这里假设的基础是什么，只有 OP 可以澄清这一点。在像 SO 这样的编程网站上使用math 标签，假设自然对数是自然的，因为这就是 log 在数学、javascript、c++ 等中的默认含义。
O(2logn)=O(n) - 这直接来自对数的定义。
更正式地说：
f(n)=2logn
log2f(n)=log2(2logn)=lognlog22=log 2n ==>f(n)=n
==> O(2logn)=O(n)
==> O(n5 + 2logn)=O(n5 + n)=O(n 5)
【讨论】：
for any base > 2, 2^logn > n 猜你的意思是2^logn < n。