动态规划的问题答案

【问题标题】：Problems with dynamic programming动态规划的问题
【发布时间】：2012-04-09 08:51:56
【问题描述】：

我在理解动态编程方面遇到了困难，所以我决定解决一些问题。我知道基本的动态算法，如最长公共子序列、背包问题，但我知道它们是因为我读过它们，但我自己无法想出一些东西:-(

例如，我们有自然数的子序列。我们可以用加号或减号取的每个数字。最后我们取这个总和的绝对值。对于每个子序列，找到可能的最低结果。

in1: 10 3 5 4; 输出1：2

in2: 4 11 5 5 5; 输出2：0

in3: 10 50 60 65 90 100; 输出3：5

第 3 次的解释：5 = |10+50+60+65-90-100|

更糟糕的是我的朋友告诉我这是简单的背包问题，但我在这里看不到任何背包。动态编程是不是很困难，还是只有我有大问题？

【问题讨论】：

标签： algorithm dynamic-programming knapsack-problem partition-problem

【解决方案1】：

这与 Tug Of War 中的问题相同，但没有平衡团队规模的限制（不相关）： http://acm.uva.es/p/v100/10032.html

我用自上而下的方法解决了这个问题。它适用于给定数字有上限的约束。你有上限还是数量不受限制？如果它们不受约束，我看不出如何使用动态编程来解决这个问题。

【讨论】：

您能否澄清一下自上而下的方法是什么？数字小于 10000 且数字小于 5000
我认为 Óscar López 发布的解决方案比我的更优雅。

【解决方案2】：

这里的背包是每个元素的weight = value = number。

您绑定的W 是1/2 * sum(elements)。

这个想法是 - 您希望在不超过 1/2 * sum(elements) 的限制的情况下最大化您“选择”的数字数量，这与 value=weight 完全一样。

这个问题其实是partition problem，是subset sum problem的特例。

分区问题说：“是否有可能得到一个总和为一半的元素子集？”
从这里推导你的问题很简单——如果有，把它们当作+，你没有把它们当作-，你得到out = 0。 [反之亦然]。因此，您描述的问题是分区问题的优化。

【讨论】：

【解决方案3】：

正如amit所指出的，这个算法可以理解为partition problem的一个实例。对于一个简单的实现，看看这个 Python 代码：

def partition(A):
    n = len(A)
    if n == 0:
        return 0
    k, s = max(A), sum(A)/2.0
    table = [0 if x else 1 for x in xrange(n*k)]
    for i in xrange(n):
        for j in xrange(n*k-1, -1, -1):
            if table[j-A[i]] > table[j]:
                table[j] = 1
    minVal, minIdx = float('+inf'), -1
    for j in xrange(int(s)+1):
        if table[j] and s-j < minVal:
            minVal, minIdx = s-j, j
    return int(2*minVal)

当使用问题中的输入之一调用时：

partition([10, 50, 60, 65, 90, 100])

正如预期的那样，它将返回5。要全面了解解决方案背后的数学原理，请查看此examples 并单击“平衡分区”链接。

【讨论】：